独立成分分析（Independent Component Analysis）

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问题：

1、上节提到的PCA是一种数据降维的方法，但是只对符合高斯分布的样本点比较有效，那么对于其他分布的样本，有没有主元分解的方法呢？

2、经典的鸡尾酒宴会问题（cocktail party problem）。假设在party中有n个人，他们可以同时说话，我们也在房间中一些角落里共放置了n个声音接收器（Microphone）用来记录声音。宴会过后，我们从n个麦克风中得到了一组数据{x(i)(x(i)1,...,x(i)n);i=1,...,m}，i表示采样的时间顺序，也就是说共得到了m组采样，每一组采样都是n维的。我们的目标是单单从这m组采样数据中分辨出每个人说话的信号。

将第二个问题细化一下，有n个信号源s(s1,...sn)T,s∈R,每一维都是一个人的声音信号，每个人发出的声音信号独立。A是一个未知的混合矩阵（mixing matrix），用来组合叠加信号s，那么

x=As

x是输入信号混合后的结果，这里的x不是一个向量，是一个矩阵，每个x(i)对应一个麦克风中的混合信号。其中每个列向量是x(i),x(i)=As(i)
表示成图就是

这张图来自

http://amouraux.webnode.com/research-interests/research-interests-erp-analysis/blind-source-separation-bss-of-erps-using-independent-component-analysis-ica/

x(i)的每个分量都由s(i)的分量线性表示。A和s都是未知的，x是已知的，我们要想办法根据x来推出s。这个过程也称作为盲信号分离。

令W=A−1,那么s(i)=A(−1)x(i)=Wx(i)

将W表示成

其中wi∈Rn，其实就是将wi写成行向量的形式。那么得到：

s(i)j=wTjx(i)

ICA的不确定性（ICA ambiguities）

由于w和s都不确定，那么在没有先验知识的情况下，无法同时确定这两个相关参数。比如上面的公式s=wx。当w扩大两倍时，s只需要同时扩大两倍即可，等式仍然满足，因此无法得到唯一的s。同时如果将人的编号打乱，变成另外一个顺序，如上图的蓝色节点的编号变为3,2,1，那么只需要调换A的列向量顺序即可，因此也无法单独确定s。这两种情况称为原信号不确定。
还有一种ICA不适用的情况，那就是信号不能是高斯分布的。假设只有两个人发出的声音信号符合多值正态分布，s∼N(0,1),I是2*2的单位矩阵，s的概率密度函数就不用说了吧，以均值0为中心，投影面是椭圆的山峰状（参见多值高斯分布）。因为x=As，因此，x也是高斯分布的，均值为0，协方差为E[xxT]=E[AssTAT]=AAT.

令R是正交阵(RRT=RTR=I),A′=AR.如果将A替换成A’。那么x′=A′s.s分布没变，因此x’仍然是均值为0，协方差E[x′(x′)T]=E[A′ssT(A′)T]=E[ARssT(AR)T]=ARRTAT=AAT

因此，不管混合矩阵是A还是A’，x的分布情况是一样的，那么就无法确定混合矩阵，也就无法确定原信号。

密度函数和线性变换

在讨论ICA具体算法之前，我们先来回顾一下概率和线性代数里的知识。

假设我们的随机变量s有概率密度函数ps(s)（连续值是概率密度函数，离散值是概率）。为了简单，我们再假设s是实数，还有一个随机变量x=AS,A和x都是实数。令px是x的概率密度，那么怎么求px？
令W=A−1,首先将式子变换成s=Wx,然后得到px(x)=ps，求解完毕。可惜这种方法是错误的。比如s符合均匀分布的话（s∼Uniform[0,1]）,那么s的概率密度是ps(s)=1{0≤s≤1},现在令A=2，即x=2s，也就是说x在[0,2]上均匀分布，可知px(x)=0.5。然而，前面的推导会得到px(x)=ps(0.5s)=1.正确的公式应该是

px(x)=ps(Wx)|W|

推导方法

更一般地，如果s是向量，A可逆的方阵，那么上式子仍然成立。

ICA算法

ICA算法归功于Bell和Sejnowski，这里使用最大似然估计来解释算法，原始的论文中使用的是一个复杂的方法Infomax principal。
我们假定每个si有概率密度ps，那么给定时刻原信号的联合分布就是

这个公式代表一个假设前提：每个人发出的声音信号各自独立。有了p(s)，我们可以求得p(x)

左边是每个采样信号x（n维向量）的概率，右边是每个原信号概率的乘积的|W|倍。

前面提到过，如果没有先验知识，我们无法求得W和s。因此我们需要知道ps(si),我们打算选取一个概率密度函数赋给s，但是我们不能选取高斯分布的密度函数。在概率论里我们知道密度函数p(x)由累计分布函数（cdf）F(x)求导得到。F(x)要满足两个性质是：单调递增和在[0,1]。我们发现sigmoid函数很适合，定义域负无穷到正无穷，值域0到1，缓慢递增。我们假定s的累积分布函数符合sigmoid函数

这就是s的密度函数。这里s是实数。

如果我们预先知道s的分布函数，那就不用假设了，但是在缺失的情况下，sigmoid函数能够在大多数问题上取得不错的效果。由于上式中ps(s)是个对称函数，因此E[s]=0（s的均值为0），那么E[x]=E[As]=0，x的均值也是0。

知道了ps(s),就剩下W了。给定采样后的训练样本{x(i)(x(i)1,...,x(i)n);i=1,...,m}，样本对数似然估计如下：
使用前面得到的x的概率密度函数，得

大括号里面是p(x(i)).

接下来就是对W求导了，这里牵涉一个问题是对行列式|W|进行求导的方法，属于矩阵微积分。这里先给出结果，在文章最后再给出推导公式。

最终得到的求导后公式如下，logg′(s)的导数为1−2g(s)可以自己验证）：

其中α是梯度上升速率，人为指定。
当迭代求出W后，便可得到s(i)=Wx(i)来还原出原始信号。
注意：我们计算最大似然估计时，假设x(i)与x(j)之间是独立的，然而对于语音信号或者其他具有时间连续依赖特性（比如温度）上，这个假设不能成立。但是在数据足够多时，假设独立对效果影响不大，同时如果事先打乱样例，并运行随机梯度上升算法，那么能够加快收敛速度。
回顾一下鸡尾酒宴会问题，s是人发出的信号，是连续值，不同时间点的s不同，每个人发出的信号之间独立s的累计概率分布函数是sigmoid函数，但是所有人发出声音信号都符合这个分布。A（W的逆阵）代表了s相对于x的位置变化，x是s和A变化后的结果。

实例

行列式的梯度