增强学习-马尔科夫决策过程

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在之前的讨论中，我们总是给定一个样本x，然后给或者不给label y。之后对样本进行拟合、分类、聚类或者降维等操作。然而对于很多序列决策或者控制问题，很难有这么规则的样本。比如，四足机器人的控制问题，刚开始都不知道应该让其动那条腿，在移动过程中，也不知道怎么让机器人自动找到合适的前进方向。

另外如要设计一个下象棋的AI，每走一步实际上也是一个决策过程，虽然对于简单的棋有A*的启发式方法，但在局势复杂时，仍然要让机器向后面多考虑几步后才能决定走哪一步比较好，因此需要更好的决策方法。

对于这种控制决策问题，有这么一种解决思路。我们设计一个回报函数（reward function），如果learning agent（如上面的四足机器人、象棋AI程序）在决定一步后，获得了较好的结果，那么我们给agent一些回报（比如回报函数结果为正），得到较差的结果，那么回报函数为负。比如，四足机器人，如果他向前走了一步（接近目标），那么回报函数为正，后退为负。如果我们能够对每一步进行评价，得到相应的回报函数，那么就好办了，我们只需要找到一条回报值最大的路径（每步的回报之和最大），就认为是最佳的路径。

增强学习在很多领域已经获得成功应用，比如自动直升机，机器人控制，手机网络路由，市场决策，工业控制，高效网页索引等。

接下来，先介绍一下马尔科夫决策过程（MDP，Markov decision processes）。

马尔科夫决策过程

一个马尔科夫决策过程由一个五元组构成(S,A,Psa,γ,R)

• S表示状态集（states）。（比如，在自动直升机系统中，直升机当前位置坐标组成状态集）

• A表示一组动作（actions）。（比如，使用控制杆操纵的直升机飞行方向，让其向前，向后等）

• Psa是状态转移概率。S中的一个状态到另一个状态的转变。Psa表示的是在当前s∈S态下，经过a∈A作用后，会转移到的其他状态的概率分布情况（当前状态执行a后可能跳转到很多状态）。
• γ∈[0,1)是阻尼系数（discount factor）
• R:S×A→RR是回报函数（reward function），回报函数经常写作S的函数（只与S有关），这样的话，R重新写作R:S→R

MDP的动态过程如下：某个agent的初始状态为s0,然后从A中挑选一个动作a0执行，执行后，agent按Psa率随机转移到了下一个s1状态，s1∈Ps0a0,然后再执行一个动作a1,就转移到了s2,接下来再执行a2…,我们可以用下面的图表示整个过程

我们按如下方式计算回报

下面我们将上式简化一些，只将它表示成状态S的函数（此处只是为了方便表示）

我们的目标是选择一组最佳的动作组合，使得上面的报值的期望最大：

从上式可以发现，回报值被打了折扣，越往后的状态对回报和影响越小。我们更看重前面的状态选择。

已经处于某个状态s 时，我们会以一定策略π来选择下一个动作 a 执行，然后转换到另
一个状态 s’。我们将这个动作的选择过程称为策略（ policy）， 每一个 policy 其实就是一个状态到动作的映射函数π∶S⟼A。

给定π也就给定了a=π(s)，也就是说， 知道了π就知道了每个状态下一步应该执行的动作.

我们为了区分不同π的好坏， 并定义在当前状态下，执行某个策略π后，出现的结果的好坏， 需要定义值函数（ value function） 也叫折算累积回报（ discounted cumulative reward）

可以看到，在当前状态 s 下，选择好 policy 后，值函数是回报加权和的期望。这个其实很容易理解，给定π也就给定了一条未来的行动方案，这个行动方案会经过一个个的状态，而
到达每个状态都会有一定回报值，距离当前状态越近的其他状态对方案的影响越大，权重越高。这和下象棋差不多，在当前棋局s0下，不同的走子方案是π，我们评价每个方案依靠对未来局势（R(s1),R(s2),…） 的判断。一般情况下，我们会在头脑中多考虑几步，但是我们会更看重下一步的局势.

从递推的角度上考虑，当期状态 s的值函数 V，其实可以看作是当前状态的回报R(s)和下一状态的值函数V′之和，也就是将上式变为：

再由Bellman等式，从上式得到

s′表示下一个状态。
前面的R(s)称为立即回报（immediate reward），就是R(当前状态)。第二项也可以写作，是下一状态值函数的期望值，下一状态s′符合Psπ(s).

可以想象，当状态个数有限时，我们可以通过上式来求出每一个s的V（终结状态没有第二项V(s′)）。如果列出线性方程组的话，也就是|S|个方程，|S|个未知数，直接求解即可。
当然，我们求V的目的就是想找到一个当前状态s下，最优的行动策略π，定义最优的V∗如下：

就是从可选的策略π中挑选一个最优的策略（discounted rewards最大）。
上式的 Bellman 等式形式如下：

第一项与π无关，所以不变。第二项是一个π就决定了每个状态s 的下一步动作 a，执行a 后，s′按概率分布的回报概率和的期望。

从上式可以看出欲要找到最优的V∗，等价于找到最优的π,我们再定义最优的策略π∗:S⟼A 如下：

选择最优的π∗，也就确定了每个状态 s 的下一步最优动作 a。
对于任意的状态s，和策略π，可以知道：

解释一下就是当前状态的最优的值函数 V∗，是由采用最优执行策略π∗的情况下得出的，采用最优执行方案的回报显然要比采用其他的执行策略π要好。

这里需要注意的是，如果我们能够求得每个s 下最优的 a，那么从全局来看，S⟼A的映射即可生成，而生成的这个映射是最优映射，称为π∗。 π∗针对全局的 s，确定了每一个s的下一个行动a，不会因为初始状态 s选取的不同而不同。

值迭代和策略迭代法

上节我们给出了迭代公式和优化目标，这节讨论两种求解有限状态 MDP 具体策略的有效算法。这里，我们只针对 MDP 是有限状态、有限动作的情况， |S| < ∞, |A| < ∞。

内循环的实现有两种策略：
1、 同步迭代法
拿初始化后的第一次迭代来说吧，初始状态所有的V(s)都为0。然后对所有的s都计算新的V(s)=R(s)+0=R(s)。在计算每一个状态时，得到新的V(s)后，先存下来，不立即更新。待所有的s的新值V(s)都计算完毕后，再统一更新。

这样，第一次迭代后，V(s)=R(s)。

2、 异步迭代法
与同步迭代对应的就是异步迭代了，对每一个状态s，得到新的V(s)后，不存储，直接更新。这样，第一次迭代后，大部分V(s)>R(s)。

不管使用这两种的哪一种，最终V(s)会收敛到V∗(s)。知道了V∗后，我们再使用公式（3）来求出相应的最优策略pi∗，当然π∗可以在求V∗的过程中求出。

对于值迭代和策略迭代很难说哪种方法好，哪种不好。对于规模比较小的MDP来说，策略一般能够更快地收敛。但是对于规模很大（状态很多）的MDP来说，值迭代比较容易（不用求线性方程组）。
###MDP中的参数估计

在之前讨论的 MDP 中，我们是已知状态转移概率Psa和回报函数 R(s)的。但在很多实际问题中，这些参数不能显式得到，我们需要从数据中估计出这些参数（通常 S、 A 和γ是已知的）。
假设我们已知很多条状态转移路径如下：

其中， s(j)i是i时刻，第 j 条转移路径对应的状态， a(j)i是s(j)i状态时要执行的动作。 每个转移路径中状态数是有限的， 在实际操作过程中，每个转移链要么进入终结状态，要么达到规定的步数就会终结。

如果我们获得了很多上面类似的转移链（相当于有了样本），那么我们就可以使用最大似然估计来估计状态转移概率。

分子是从s状态执行动作a后到达s’的次数，分母是在状态s时，执行a的次数。两者相除就是在s状态下执行a后，会转移到s’的概率。
为了避免分母为0的情况，我们需要做平滑。如果分母为0，则令Psa(s′)=1|s|，也就是说当样本中没有出现过在s状态下执行a的样例时，我们认为转移概率均分。
上面这种估计方法是从历史数据中估计，这个公式同样适用于在线更新。比如我们新得到了一些转移路径，那么对上面的公式进行分子分母的修正（加上新得到的count）即可。修正过后，转移概率有所改变，按照改变后的概率，可能出现更多的新的转移路径，这样Psa会越来越准。
同样，如果回报函数未知，那么我们认为R(s)为在s状态下已经观测到的回报均值。

当转移概率和回报函数估计出之后，我们可以使用值迭代或者策略迭代来解决MDP问题。比如，我们将参数估计和值迭代结合起来（在不知道状态转移概率情况下）的流程如下：

在(b)步中我们要做值更新，也是一个循环迭代的过程，在上节中，我们通过将V初始化为0，然后进行迭代来求解V。嵌套到上面的过程后，如果每次初始化V为0，然后迭代更新，就会很慢。一个加快速度的方法是每次将V初始化为上一次大循环中得到的V。也就是说V的初值衔接了上次的结果。

* 总结*

首先我们这里讨论的MDP是非确定的马尔科夫决策过程，也就是回报函数和动作转换函数是有概率的。在状态s下，采取动作a后的转移到的下一状态s’也是有概率的。再次，在增强学习里有一个重要的概念是Q学习，本质是将与状态s有关的V(s)转换为与a有关的Q。强烈推荐Tom Mitchell的《机器学习》最后一章，里面介绍了Q学习和更多的内容。最后，里面提到了Bellman等式，在《算法导论》中有Bellman-Ford的动态规划算法，可以用来求解带负权重的图的最短路径，里面最值得探讨的是收敛性的证明，非常有价值。有学者仔细分析了增强学习和动态规划的关系。

这篇是ng讲义中最后一篇了，还差一篇learning theory，暂时不打算写了，感觉对learning的认识还不深。等到学习完图模型和在线学习等内容后，再回过头来写learning theory吧。另外，ng的讲义中还有一些数学基础方面的讲义比如概率论、线性代数、凸优化、高斯过程、HMM等，都值得看一下。