中国剩余定理的解析及记忆（扩展欧几里得算法的运用）

中国剩余定理简单解释一下：设m1,m2,m3....mk两两互素，下面称为同余方程组x=a1*k1+m1;x=a2*k2+m2;x=a3*k3+m3;.....其中a1,a2，a3...是已知的，m1,m2,m3..也是已知的要求x，但可以不用求系数k原理：x会存在整数解，且在M=m1*m2*m3*...*mk下的解是唯一的即x=(a1*M1*M1^-1+a2*M2*M2^-1+..+ak*Mk*Mk^-1)mod M其中Mi=M/mi,也就是除去mi的总积，而Mi^-1是Mi mod mi的逆元，简单来说：求Mi*x = 1( mod mi) 的x值，就是Mi的逆元也就是满足Mi*x+mi*y=1的x值；因为mi彼此互素，所以Mi与mi也互素，所以最大公约数为1,直接代入扩展欧几里得函数求x。int CRT(int a[],int m[],int n)  {      int M = 1;      int ans = 0;      for(int i=1; i<=n; i++)          M *= m[i];      for(int i=1; i<=n; i++)      {          int x, y;          int Mi = M / m[i];          extend_gcd(Mi, m[i], x, y);          ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;  //最终ans=(a1*M1*M1^-1+a2*M2*M2^-1+..+ak*Mk*Mk^-1)mod M    }      if(ans < 0) ans += M;  //有可能ans<0，因为系数有可能为负数，再加一个M就可以了    return ans;  }下面这个就是扩展欧几里得算法，上面有用到,实际上就是求能使ax+by=d成立的x和y以及d(是a,b最小公约数)，其中a,b已知但实际上题目给我们的方程一般右边是d的倍数，所以用这个方法得到的x,y并不一定是题目的解，还要都乘以这个倍数.long long extend_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y){if(a==0&&b==0) return -1;//无最大公约数if(b==0){x=1;y=0;return a;}long long d=extend_gcd(b,a%b,y,x);//要记住这里的y和x换了顺序y-=a/b*x;//要记住是a在上面,b在下面return d;//d=gcd(a,b);也就是a,b最小公约数}