串_1 2016.4.27

一、串及串匹配

如何在字符串数据中，监测和提取以字符串形式给出的某一局部特性

这类操作都属于串模式匹配（string pattern matching）范畴，简称串匹配

一般地，即：

对基于同一字符表的任何文本串T（|T| = n）和模式串P（|P| = m）：

判定T中是否存在某一子串与P相同

若存在（匹配），则报告该子串在T中的起始位置

串的长度n和m本身通常都很大，但相对而言n更大，即满足2 << m << n

比如，若：

T = "Now is the time for all good people to come"

P = "people"

则匹配的位置应该是29

二、暴力匹配（Brute‐force）

最直接最直觉的方法

构思：

bool Match(char* P, char *T) //暴力串匹配算法（版本1）{    int n = strlen(T);  //文本串长度    int m = strlen(P);  //模式串长度    int i = 0, j = 0;    while (j < m && i < n) {    //自左向右逐个比对字符        if (T[i] == P[j]) {     //若匹配            ++i;                //则转到下一字符            ++j;        } else {                //文本串回退，模式串复位            i  -= (j-1);            j = 0;        }    }    if (i-j < n-m+1) {  //i - j < n - m + 1时匹配；否则失配        return true;    }    return false;}

bool Match(char* P, char *T) //暴力串匹配算法（版本2）{    int n = strlen(T);  //文本串长度    int m = strlen(P);  //模式串长度    int i, j;    for (i=0; i<n-m+1; ++i) {   //文本串从第i个字符起，与模式串中对应的字符逐个比对        for (j=0; j<m; ++j) {            if (T[i+j] != P[j]) {   //若失配，模式串整体右移一个字符，再做一轮比对                break;            }        }        if (j == m) {   //找到匹配子串            break;        }    }    if (i < n-m+1) {    //i<n-m+1时匹配；否则失配        return true;    }    return false;}

最好情况： 只经过一轮比对，即确定匹配

比对 = m = O(m)

最坏情况： 每轮都比对至P的末字符，且反复如此
每轮循环：比对 = m‐1(成功) + 1(失败) = m
循环次数 = n ‐ m + 1
一般 m ≪ n，故总体地，比对 = m × (n‐m+1) = O(n×m)

三、KMP算法

(1)构思

暴力算法应用于规模大的应用环境，很有必要改进

为此，不妨从分析以上最坏情况入手

稍加观察不难发现，问题在于这里存在大量的局部匹配：

每一轮的m次对比中，仅最后一次可能失配，文本串、模式串的字符指针都要回退，并从头开始下一轮尝试

实际上，这类重复的字符比对操作没有必要

既然这些字符在前一轮迭代中已经接受过比对并且成功，我们也就掌握了它们的所有信息

那么，如何利用这些信息，提高匹配算法的效率呢？

记忆 = 经验= 预知力

经过前一轮对比，我们已经清楚地知道，子串 T[i - j, i] 完全由 '0' 组成

记住这一性质我们便可预测出：

在回退之后紧接着的下一轮对比中，前 j - 1 次比对必然都会成功

因此，可直接 ”令 i 保持不变、j = j - 1 “ ，然后继续比对

如此，下一轮只需 1 次比对，共减少 j - i 次！

上述 ”令 i 保持不变、j = j - 1 “ 的含义，可理解为 “令 P 相对于 T 右移一个单元，然后从前一失配位置继续比对”：

实际上这一技巧可推而广之：

利用以往的成功比对所提供的信息（记忆），不仅可避免文本串字符指针的回退，而且可使模式串尽可能大跨度地右移（经验）

一般实例

再来考查一个更具一般性的实例

本轮对比进行到发现 T[i] = 'E' ≠ 'O' = P[4] 失配后，在保持 i 不变的同时，应将模式串 P 右移几个单元呢？

有必要逐个单元地右移吗？

不难看出，在这一情况下移动一个或两个单元都是徒劳的

事实上，根据此前的比对结果，此时必然有

T[i - 4, i) = P[0,4) = "REGR"

若在此局部能够实现匹配，则至少紧邻于 T[i] 左侧的若干字符均得到匹配

比如，当 P[0] 与 T[i - 1] 对齐时，即属于这种情况

进一步地，若注意到 i - 1 是能够如此匹配的最左侧位置，即可直接将 P 右移 4 - 1 = 3 个单元（等效于 i 保持不变，同时令 j = 1），然后继续比对

（2）next表

一般地，假设前一轮比对终止于 T[i] ≠ P[j]

按以上构思，指针 i 不必回退，而是将 T[i] 与 P[t] 对齐并开始下一轮比对

那么，t 准确地应该取作多少呢？

经过前一轮的比对，已经确定匹配的范围应为：

P[0, j) = T[i - j, i)

于是，若模式串 P 经适当右移之后，能够与 T 的某一（包含 T[i] 在内的）子串完全匹配，则一项必要条件就是：

P[0, t) = T[i - t, i) = P[j - t, j)

亦即，在 P[0, j) 中长度为 t 的真前缀，应与长度为 t 的真后缀完全匹配，故 t 必来自集合：

N(P, j) = { 0 ≤ t < j  |  P[0, t) = P[j - t, j) }

一般地，该集合可能包含多个这样的 t

但需要特别注意的是，其中具体由哪些 t 值构成，仅取决于模式串 P 以及前一轮对比的首个失配位置 P[j]，而与文本串 T 无关！

若下一轮对比将从 T[i] 与 P[t] 的对比开始，这等效于将 P 右移 j - t 个单元，位移量与 t 成反比

因此，为保证 P 与 T 的对齐位置（指针 i ）绝不倒退，同时又不致遗漏任何可能的匹配，应在集合 N(P, j) 中挑选最大的 t

也就是说，当有多个值得试探的右移方案时，应该保守地选择其中移动距离最短者

于是，若令

next[j] = max( N(p, j) )

则一旦发现 P[j] 与 T[i] 失配，即可转而将 P[ next[j] ] 与 T[i] 彼此对准，并从这一位置开始继续下一轮比对

既然集合 N(P , j) 仅取决于模式串 P 以及失配位置 j，而与文本串无关，作为其中的最大元素，next[j] 也必然具有这一性质

于是，对于任一模式串 P ，不妨通过预处理提前计算出所有位置 j 所对应的 next[j] 值，并整理为表格以便以后反复查询

亦即，将“记忆力”转化为“预知力”

（3）KMP算法

Knuth 和 Pratt 师徒，与 Morris 几乎同时发明了这一算法

他们稍后联合署名发表该算法，并以其姓氏首字母命名

这里，假定可通过 Build_Next() 构造出模式串 P 的 next 表

对照“暴力串匹配算法（版本1）”，只是在 else 分支对失配情况的处理手法有所不同，这也就是 KMP 算法的精髓所在

bool Match(char* P, char *T) //KMP主算法（待改进版）{    Build_Next(P);    int n = strlen(T);  //文本串长度    int m = strlen(P);  //模式串长度    int i = 0, j = 0;    while (j < m && i < n) {    //自左向右逐个比对字符        if (j < 0 || T[i] == P[j]) {     //若匹配，或P已移出最左侧（两个判断的次序不可交换）            ++i;                //则转到下一字符            ++j;        } else {            j = next[j];        //模式串右移（注意：文本串不用回退）        }    }    if (i-j < n-m+1) {  //i - j < n - m + 1时匹配；否则失配        return true;    }    return false;}

（4）next[0] = -1

不难看出，只要 j > 0 则必有 0 ∈ N(P, j)

此时 N(P, j) 非空，从而可以保证“在其中取最大值”这一操作的确可行

但反过来，若 j = 0，则即便集合 N(P, j) 可以定义，也必是空集

此种情况下，又如何定义 next[j = 0] 呢？

反观串匹配的过程

若在某一轮对比中首对字符即失配，则应将 P 直接右移一个字符，然后启动下一轮对比

因此，不妨假想地在 P[0] 的左侧“附加”一个 P[-1] ，则该字符与任何字符都是匹配的

就实际效果而言，这一处理方法完全等同于“令 next[0] = -1”

巧妙的使用哨兵，可以

-简化代码

-统一理解

（5）next[j + 1]

那么，若已知 next[0, j] ，如何才能递推地计算出 next[j + 1]？

是否有高效方法？


由 next 表的功能定义，next[j + 1] 的下一候选者应该依次是 next[ next[j] ] + 1，
next[ next[ next[j] ] ] + 1，. . .


因此，只需反复用 next[t] 替换 t （即令 t = next[t]），即可按优先次序遍历以上候选者

一旦发现 P[j] 与 P[t] 匹配（含与 P[t = -1] 的通配），即可令 next[j + 1] = next[t] + 1

既然总有 next[t] < t，故在此过程中 t 必然严格递减

同时，即便 t 降至 0 ，亦必然会终止于通配的 next[0] = -1 ，而不致下溢

如此，该算法的正确性完全可以保证

（6）构造 next 表

void Build_Next(char* P)    //构造模式串 P 的 next 表{    int m = strlen(P);    int j = 0;  //“主”串指针    int t = next[0] = -1;      //模式串指针    while (j < m-1) {        if (t < 0 || P[j] == P[t]) {    //匹配            ++j;            ++t;            next[j] = t;   //此句可改进. . .        } else {    //失配            t = next[t];        }    }}

可见，next 表的构造算法与 KMP 算法几乎完全一致

实际上按照以上分析，这一构造过程完全等效于模式串的自我匹配，因此两个算法在形式上的近似亦不足为怪

（7）性能分析

为此，请留意 KMP 算法中用作字符指针的变量 i 和 j

若令 k = 2i - j 并考查 k 在 KMP 算法过程中的变化趋势，则不难发现：

while 循环每迭代一轮，k 都会严格递增

实际上，对应于 while 循环内部的 if-else 分支，无非两种情况：

若转入 if 分支，则 i 和 j 同时加一，于是 k = 2i - j 必将增加

反之若转入 else 分支，则尽管 i 保持不变，但在赋值 j = next[j] 之后 j 必然减小，于是 k = 2i - j 也必然会增加

纵观算法的整个过程：

启动时有 i = j = 0，即 k = 0 ，算法结束时 i ≤ n 且 j ≥ 0，故有 k ≤ 2n

在此期间尽管整数 k 从 0 开始持续地严格递增，但累计增幅不超过 2n，故 while 循环至多执行 2n 轮

另外，while 循环体内部不含任何循环或调用，故只需 O(1) 时间

因此，若不计构造 next 表所需的时间，KMP 算法本身的运行时间不超过 O(n)

既然 next 表构造算法的流程与 KMP 算法并无实质区别，故按照上述分析可知，next 表的构造仅需 O(m) 时间

综上可知，KMP 算法的总体运行时间为 O(n + m)

（8）继续改进

尽管以上 KMP 算法已可保证线性的运行时间，但在某些情况下仍有进一步改进的余地

考查模式串 P = “000010”

在 KMP 算法过程中，假设前一轮对比因 T[i] = '1' ≠ '0' = P[3] 失配而中断

于是按照 next 表，接下来 KMP 算法将依次将 P[2]、P[1] 和 P[0] 与 T[i] 对准并做比对

这三次比对都报告“失配”

那么，这三次比对的失败结果属于偶然吗？

进一步地，这些比对能否避免？

实际上，即便说 P[3] 与 T[i] 的比对还算必要，后续的这三次比对却都是不必要的

实际上，它们的失败结果早已注定

只需注意到 P[3] = P[2] = P[1] = P[0] = '0' ，就不难看出这一点

既然经过此前的比对已经发现 T[i] ≠ P[3] ，那么继续将 T[i] 和那些与 P[3] 相同的字符做比对，既重蹈覆辙，更徒劳无益

记忆 = 教训= 预知力

就算法策略而言，引入 next 表的实质作用，在于帮助我们利用以往成功对比所提供的“经验”，将记忆力转化为预知力

然而实际上，此前已进行过的比对还远不止这些，确切地说还包括那些失败的比对----作为“教训”，它们同样有益，但可惜此前一直被忽略了

以往所做的失败比对，实际上已经为我们提供了一条极为重要的信息---- T[i] ≠ P[3] ---- 可惜我们却未能有效地加以利用

原算法之所以会执行后续三次本不必要的比对，原因在于未能充分汲取教训

改进

为把这类“负面”引入 next 表，只需将集合 N(P, j) 的定义修改为：

N(P, j) = { 0 ≤ t < j  |  P[0, t) = P[j - t, j) 且 P[t] ≠ P[j] }

也就是说，除“对应于自匹配长度”以外，t 只有还同时满足“当前字符对不匹配”的必要条件，方能归入集合 N(P, j) 并作为 next 表项的候选

void Build_Next(char* P)    //构造模式串 P 的 next 表（改进版本）{    int m = strlen(P);    int j = 0;  //“主”串指针    int t = next[0] = -1;      //模式串指针    while (j < m-1) {        if (t < 0 || P[j] == P[t]) {    //匹配            ++j;            ++t;            next[j] = (P[j] != P[t] ? t : next[t]); //注意此句与未改进之前的区别        } else {    //失配            t = next[t];        }    }}

改进后的算法与原算法的唯一区别在于，每次在 P[0, j) 中发现长度为 t 的真前缀和真后缀相互匹配之后，还需进一步检查 P[j] 是否等于 P[t]

唯有 P[j] ≠ P[t] 时，才能将 t 赋予 next[j]，否则，需转而代之以 next[t]

改进后的 next 表的构造算法同样只需 O(m) 时间

BJFU OJ 1553 易彰彪的一张表

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int maxn = 30 + 10;char T[maxn * maxn];char P[maxn * maxn];int next[maxn * maxn];int n, m;int T_len, P_len;void Build_Next(char* P);bool Match(char* P, char *T);int main(){//    freopen("in.txt", "r", stdin);    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {        T_len = n*m;        for (int i=0; i<T_len; ++i) {            cin>>T[i];        }        strlwr(T);        scanf("%s", P);        P_len = strlen(P);        strlwr(P);        if (Match(P, T)) {            printf("YES\n");        } else {            printf("NO\n");        }    }    return 0;}void Build_Next(char* P){    int j = 0;    int t = next[0] = -1;    while (j < P_len-1) {        if (t < 0 || P[j] == P[t]) {            ++j;            ++t;            next[j] = (P[j] != P[t] ? t : next[t]);        } else {            t = next[t];        }    }}bool Match(char* P, char *T){    Build_Next(P);    int i = 0, j = 0;    while (j < P_len && i < T_len) {        if (j < 0 || T[i] == P[j]) {            ++i;            ++j;        } else {            j = next[j];        }    }    if (i-j < T_len-P_len+1) {        return true;    }    return false;}

HDU 1711 Number Sequence

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <queue>using namespace std;typedef long long LL;int a[1000010];int b[10010];int N, M;int Next[10010];void Build_Next(void);int Match(void);int main(){#ifdef __AiR_H    freopen("in.txt", "r", stdin);#endif // __AiR_H    int T;    scanf("%d", &T);    while (T--) {        scanf("%d%d", &N, &M);        for (int i = 0; i < N; ++i) {            scanf("%d", &a[i]);        }        for (int i = 0; i < M; ++i) {            scanf("%d", &b[i]);        }        printf("%d\n", Match());    }    return 0;}void Build_Next(void){    int i = 0;    int t = Next[0] = -1;    while (i < M-1) {        if (t < 0 || b[i] == b[t]) {            ++i;            ++t;            Next[i] = (b[i] != b[t] ? t : Next[t]);        } else {            t = Next[t];        }    }}int Match(void){    Build_Next();    int i = 0, j = 0;    while (i < N && j < M) {        if (j < 0 || a[i] == b[j]) {            ++i;            ++j;        } else {            j = Next[j];        }    }    if (i-j < N-M+1) {        return (i-M+1);    }    return -1;}