固有値、固有ベクトル

固有値、固有ベクトル eigen_vector

home　数学メモ

n次正方行列Aに対して、(1)の関係が成り立つn次元の列ベクトルで、零ベクトルではないxが存在するとき、λをAの固有値といい、ベクトルxをλに属する固有ベクトルと呼ぶ。2次の例を示すと(2)のようになる。

固有値λは定数であり、マイナスも在り得る。固有ベクトルは行列Aによる変換によって、長さは変わっても、向きは変わらないベクトルという事になる（180度反対になる場合はある）。
草むらを上空の一点から吸い上げようとするとき、周囲の草はそちらへ向きを変えて伸びるが、元々真下にあった草は長さが変わるだけ、といったイメージだ。

(2)のベクトルが以下のような零ベクトルであれば、等号が成り立つのは当たり前（自明解）なので、零ベクトルは固有ベクトルには含めない。

固有ベクトルの定義から、(2)の正方行列をAとすると、以下のように変形できる（行列計算は分配法則が成り立つ）。

ここで、行列(A－λE)をPと置く。Pに逆行列が存在すると、以下のようになり、x,yのベクトルは零ベクトルしか在り得ない事になる。

従って、(A－λE)が逆行列を持たない事が、Aに固有ベクトルが存在する条件になる。逆行列を持たない条件は、行列式＝0となる事だった。
そこで、(A－λE)の行列式＝0とする。これを満たすλが、固有値となる。a、b、c、dに具体的な値を代入すると、λに関する二次方程式になる事が分かる。一般に、n次正方行列の固有値は、重解や虚数も含めればn個存在する。

例えば、以下のような回転行列に対しては、xy平面内の全てのベクトルが向きを変える。しかし、この固有値は虚数として存在する。

下記の2次正方行列Aの固有値を求める。まずA－λEを求め、その行列式＝0と置く。二次方程式を解くと、λ＝2、3となった。

固有値ごとに、属する固有ベクトルを求める。λ＝2の場合、まずA－λEに代入して、x、yに関する方程式を作る。
ところが、方程式はひとつになるため、xとyの比しか分からない。そこで、双方の最小公倍数を利用して、tという任意定数を置き、以下のように求める。

λ＝3の場合についても同様に求めると、以下のようになる。

これらの固有ベクトルは、以下のようにAという行列による一次変換で、方向が変わらず大きさが固有値倍に変わるベクトルである事が確かめられる。
λ＝2でt＝1のとき、元のベクトルは(3、4)で、Aによる変換の結果(6、8)となり、固有値λ（この例では2）倍だけ大きくなっている。元のベクトルがt＝3で(9、12)ならば、変換結果はやはり固有値倍の(18、24)となる。
λ＝3の場合は省略するが、同様に変換によって3倍になる事が確かめられる。