整数划分问题

</pre><p></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px">整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。</p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"> 所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：</p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"> <span style="margin:0px; padding:0px">n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px"> 如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px"> 例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px"> 注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px"> 该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px"> 1.递归法：</span><span style="line-height:2">根据n和m的关系，考虑以下几种情况：</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">   (1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">   (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">   (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">      (a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">      (b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">      因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">   (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">   (5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">       (a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这情况下</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px"></span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">为f(n-m,m)</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">       (b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">      因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">      综上所述：</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">               f(n, m)=   1;              <span style="white-space:pre"></span>     (n=1 or m=1)</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">               f(n,m)   =    f(n, n);                  (n<m)</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">               1+ f(n, m-1);             <span style="white-space:pre"></span>     (n=m)</span></p><p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px">               f(n-m,m)+f(n,m-1);         (n>m)</span></p>示例:<p style="margin:10px auto; padding-top:0px; padding-bottom:0px; line-height:2; font-family:Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size:14px"><span style="margin:0px; padding:0px"></span></p><pre name="code" class="java">package com.longyu.algorithm;/** * 整数划分问题 *  * @author chen * */public class IntegerDivide {public static void main(String args[]) {System.out.println(q(9, 2));}/** *  返回 多少种划分 * @param n  正整数 n * @param m  不小于 m * @return */public static int q(int n, int m) {if ((n < 1) || (m < 1))return 0;if ((n == 1) || (m == 1))return 1;if (n < m)return q(n, n);if (n == m)return q(n, m - 1) + 1;return q(n, m - 1) + q(n - m, m);}}