数学分析摘要

实数的完备性

对于任何非空有上界的集合A，其上界b的集合B含有最小元b′，也就是说，存在唯一的元素b′∈B使得：
1)b′是集合A的上界，即对于一切a∈A，成立b≥a;
2)b′是集合B的最小元素，也就是说对于一切b′∈B,有b′≤b.
元素b′叫做集合A的上确界(记作:b′=supA).
同样的，对于有下界的集合A，其下界的集合D同样存在其下确界.

极限与数值计算

利用数列的极限存在一常数，可以迭代计算出该常数，下面举几个例子。
1. Heron迭代

xn+1=12(xn+axn)

其中a是正常数，x1是任意的正数。由定理：
单调递减且有下界的数列有极限等于inf(an).
得出

limn→∞xn+1=12(limn→∞xn+alimn→∞xn)

得到limn→∞xn=a√.
这种迭代方法的精彩之处在于，它对于初值不敏感，并且计算过程中出现的错误，也会在接下来的迭代过程中得到修正。
同时，我们还可以计算出迭代过程的收敛速度，从等式

xn+1±a√=(xn±a√)22xn,

得到

xn+1−a√xn+1+a√=(xn−a√xn+a√)2,

令x1−a√x1+a√=q.对于x1>0,有|q|<1.然后得到

xn−a√xn+a√=q2n−1,

因此

xn=1+q2n−11−q2n−1a√,

收敛速度

Δn=xn−a√=2q2n−11−q2n−1a√

2. 开普勒方程
同样可以使用逐次迭代求解开普勒方程

x−asinx=y(0<a<1).

令

x0=y,xn=y+asinxn−1.

参考资料：数学分析讲义(第3版)

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