扩展欧几里德原理

来源:互联网 发布:redis 数据库设计 编辑:程序博客网 时间:2024/05/13 09:22

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1061


此题其实就是扩展欧几里德算法-求解不定方程,线性同余方程。

  设过s步后两青蛙相遇,则必满足以下等式:

    (x+m*s)-(y+n*s)=k*l(k=0,1,2....)

  稍微变一下形得:

    (n-m)*s+k*l=x-y

    令n-m=a,k=b,x-y=c,即

    a*s+b*l=c

  只要上式存在整数解,则两青蛙能相遇,否则不能。

  首先想到的一个方法是用两次for循环来枚举s,l的值,看是否存在s,l的整数解,若存在则输入最小的s,

但显然这种方法是不可取的,谁也不知道最小的s是多大,如果最小的s很大的话,超时是明显的。

  其实这题用欧几里德扩展原理可以很快的解决,先来看下什么是欧几里德扩展原理:

  欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:

  定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

  证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b

  假设d是a,b的一个公约数,则有

  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r

  因此d是(b,a mod b)的公约数

  假设d 是(b,a mod b)的公约数,则

  d | b , d |r ,但是a = kb +r

  因此d也是(a,b)的公约数

  因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证

  欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为: 

  int Gcd(int a, int b)
  {
      if(b == 0)
          return a;
    return Gcd(b, a % b);
  }

  当然你也可以写成迭代形式:

  int Gcd(int a, int b)
  {
      while(b != 0)
      {
          int r = b;
          b = a % b;
          a = r;
      }
      return a;
  }

  本质上都是用的上面那个原理。

  补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使

用C++的实现:

  int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
  {
      if(b == 0)
      {
          x = 1;
          y = 0;
          return a;
      }
      int r = exGcd(b, a % b, x, y);
      int t = x;
      x = y;
      y = t - a / b * y;
      return r;
  }

  把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓。

  可以这样思考:

  对于a' = b, b' = a % b 而言,我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')

  由于b' = a % b = a - a / b * b (注:这里的/是程序设计语言中的除法)

  那么可以得到:

  a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
  bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
  ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

  因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是 y和(x-a/b*y).

  在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题,可都没有说全,都只说了一部分,看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程,步骤如下:

  求a * x + b * y = n的整数解。

  1、先计算Gcd(a,b),若n不能被Gcd(a,b)整除,则方程无整数解;否则,在方程两边同时除以Gcd(a,b),得到新的不定方程a' * x + b' * y = n',此时Gcd(a',b')=1;

    2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0,则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解;

  3、根据数论中的相关定理,可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为:

        x = n' * x0 + b' * t
y = n' * y0 - a' * t
(t为整数)

    上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。


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