STL算法_heap算法篇

• 堆简介

  二叉堆是一种完全二叉树，即整棵二叉树中除了最底层的叶子节点之外，其余节点是填满的，而最底层的叶子节点由左到右也是填满的不能存在空隙。

  堆主要包括两类：大顶堆和小顶堆。大顶堆指每个节点的键值（key）都大于或等于其叶子节点的键值，而小顶堆指每个节点键值都小于等于其节点的键值。STL中堆主要使用vector/array实现的。大顶堆的最大值在根节点，故其总是位于底层的vector/array的起头处；小顶堆的最小值在根节点，故其总是位于vector/array的起头处。

  此算法只要存在于stl_heap.h中，主要有make_heap()，push_heap()，pop_heap()，sort_heap()。

• make_heap()算法

  此算法用于将一段现有的数据转化为一个heap，即构建二叉堆的过程。

  // 以下这组make_heap()不允许指定“大小比较标准”template <class _RandomAccessIterator, class _Tp, class _Distance>void __make_heap(_RandomAccessIterator __first,            _RandomAccessIterator __last, _Tp*, _Distance*){  if (__last - __first < 2) return;      // 如果长度为0或1，不必重新排列  _Distance __len = __last - __first;  // 找出第一个需要重排的子树头部，以parent标示出。由于任何叶节点都不需执行percolate down，所以  // 有以下计算。parent命名不佳，名为holeIndex更好  _Distance __parent = (__len - 2)/2;  while (true) {    // 重排以parent为首的子树。len是为了让__adjust_heap()判断操作范围    __adjust_heap(__first, __parent, __len, _Tp(*(__first + __parent)));    if (__parent == 0) return;           // 走完根节点，就结束    __parent--;                          // (已重排之子树的)头部向前一个节点  }}// 利用所给的数组建立堆，其主要涉及调整底部vector中元素使其满足堆的条件// 将[first, last)排列为一个heap// 版本1template <class _RandomAccessIterator>inline void make_heap(_RandomAccessIterator __first, _RandomAccessIterator __last){  __STL_REQUIRES(_RandomAccessIterator, _Mutable_RandomAccessIterator);  __STL_REQUIRES(typename iterator_traits<_RandomAccessIterator>::value_type,                 _LessThanComparable);  __make_heap(__first, __last,              __VALUE_TYPE(__first), __DISTANCE_TYPE(__first));}template <class _RandomAccessIterator, class _Compare,          class _Tp, class _Distance>void__make_heap(_RandomAccessIterator __first, _RandomAccessIterator __last,            _Compare __comp, _Tp*, _Distance*){  if (__last - __first < 2) return;  _Distance __len = __last - __first;    // 计算堆的长度  _Distance __parent = (__len - 2)/2;    // 计算根节点位置  while (true) {      // 调整排列元素，使其满足堆    __adjust_heap(__first, __parent, __len, _Tp(*(__first + __parent)),                  __comp);    if (__parent == 0) return;    __parent--;  }}// 将[first, last)排列为一个heap// 版本2template <class _RandomAccessIterator, class _Compare>inline void make_heap(_RandomAccessIterator __first,           _RandomAccessIterator __last, _Compare __comp){  __STL_REQUIRES(_RandomAccessIterator, _Mutable_RandomAccessIterator);  __make_heap(__first, __last, __comp,              __VALUE_TYPE(__first), __DISTANCE_TYPE(__first));}// 对排序算法template <class _RandomAccessIterator>void sort_heap(_RandomAccessIterator __first, _RandomAccessIterator __last){  __STL_REQUIRES(_RandomAccessIterator, _Mutable_RandomAccessIterator);  __STL_REQUIRES(typename iterator_traits<_RandomAccessIterator>::value_type,                 _LessThanComparable);  // 以下，每执行一次pop_heap()，极值（在STL heap中为极大值）即被放在尾端。扣除尾端再执行一次pop_heap()，次极值  // 又被放在新尾端。一直下去，最后即得到排序结果  while (__last - __first > 1)    pop_heap(__first, __last--);     // 每执行pop_heap()一次，操作范围即退缩一格}

• push_heap()算法

  在堆中添加一个元素。为了满足完全二叉树的条件，新加入的元素一定要放在最下一层作为叶子节点，并填补在从左到右的第一个空格出，即将新元素插入在底层vector/array的end()处。插入后，为了满足堆（以大顶堆为例）的条件，还需要执行上溯操作：即将新节点与其父节点比较，如果其键值大于父节点，就将父子对换位置。如此一直上溯，直到不需对换或直到根节点为止。

  // 以下这组push_back()不允许指定“大小比较标准”template <class _RandomAccessIterator, class _Distance, class _Tp>void __push_heap(_RandomAccessIterator __first,            _Distance __holeIndex, _Distance __topIndex, _Tp __value){  _Distance __parent = (__holeIndex - 1) / 2;  while (__holeIndex > __topIndex && *(__first + __parent) < __value) {    // 当尚未达到顶端，且父节点小于新值（于是不符合heap的次序特性）    // 由于以上使用operator<，可知STL heap是一种max-heap（大者为父）    *(__first + __holeIndex) = *(__first + __parent);    // 令洞者为父节点    __holeIndex = __parent;                              // percolate up：调整洞号，向上提升至父节点    __parent = (__holeIndex - 1) / 2;                    // 新洞的父节点  }      *(__first + __holeIndex) = __value;                    // 令洞值为新值，完成插入操作} template <class _RandomAccessIterator, class _Distance, class _Tp>inline void __push_heap_aux(_RandomAccessIterator __first,                _RandomAccessIterator __last, _Distance*, _Tp*){  // 根据implicit represention heap的结构特性：新值必置于底部容器的最尾端，此即第一个洞号：(last-first)-1  __push_heap(__first, _Distance((__last - __first) - 1), _Distance(0),               _Tp(*(__last - 1)));}// push_heap函数，在堆中插入一个新元素// 版本1template <class _RandomAccessIterator>inline void push_heap(_RandomAccessIterator __first, _RandomAccessIterator __last){  __STL_REQUIRES(_RandomAccessIterator, _Mutable_RandomAccessIterator);  __STL_REQUIRES(typename iterator_traits<_RandomAccessIterator>::value_type,                 _LessThanComparable);  // 注意：此函数被调用时，新元素应已置于底部容器的最尾端  __push_heap_aux(__first, __last,                  __DISTANCE_TYPE(__first), __VALUE_TYPE(__first));}template <class _RandomAccessIterator, class _Distance, class _Tp,           class _Compare>void__push_heap(_RandomAccessIterator __first, _Distance __holeIndex,            _Distance __topIndex, _Tp __value, _Compare __comp){  _Distance __parent = (__holeIndex - 1) / 2;  while (__holeIndex > __topIndex && __comp(*(__first + __parent), __value)) {    *(__first + __holeIndex) = *(__first + __parent);    __holeIndex = __parent;    __parent = (__holeIndex - 1) / 2;  }  *(__first + __holeIndex) = __value;}template <class _RandomAccessIterator, class _Compare,          class _Distance, class _Tp>inline void __push_heap_aux(_RandomAccessIterator __first,                _RandomAccessIterator __last, _Compare __comp,                _Distance*, _Tp*) {  __push_heap(__first, _Distance((__last - __first) - 1), _Distance(0),               _Tp(*(__last - 1)), __comp);}// 版本2template <class _RandomAccessIterator, class _Compare>inline void push_heap(_RandomAccessIterator __first, _RandomAccessIterator __last,          _Compare __comp){  __STL_REQUIRES(_RandomAccessIterator, _Mutable_RandomAccessIterator);  __push_heap_aux(__first, __last, __comp,                  __DISTANCE_TYPE(__first), __VALUE_TYPE(__first));}

• pop_heap()算法

  在堆中删除根元素。下面以大顶堆为例，取走根节点（实质是设置底部容器vector/array的尾端节点）后，为了满足完全二叉树的条件，必须割舍最下层最右边的叶节点，并将其值重新安插到大顶堆的顶点（即vector/array的首端）。取走根元素后，为了满足大顶堆的条件，还需要执行下溯操作：即将此时的根节点值与其较大的自己子节点比较，如果其子节点更大，则交换，然后持续下方，直到不需对换或达到叶节点为止。

  // __adjust_heap（调整堆）算法：主要用于调整排列中的数据，使其满足堆的性质。此算法主要用在pop_heap()算法中。// 以下这个__adjust_heap()不允许指定“大小比较标准”// 版本1template <class _RandomAccessIterator, class _Distance, class _Tp>void __adjust_heap(_RandomAccessIterator __first, _Distance __holeIndex,              _Distance __len, _Tp __value){  _Distance __topIndex = __holeIndex;  _Distance __secondChild = 2 * __holeIndex + 2;       // 洞节点之右子节点  while (__secondChild < __len) {    // 比较洞节点之左右两个子值，然后以secondChild代表较大的子节点    if (*(__first + __secondChild) < *(__first + (__secondChild - 1)))      __secondChild--;    // percolate down：令较大值为洞值，再令洞号下移至较大子节点处    *(__first + __holeIndex) = *(__first + __secondChild);    __holeIndex = __secondChild;    // 找出新洞节点的右子节点    __secondChild = 2 * (__secondChild + 1);  }  if (__secondChild == __len) {                        // 没有右子节点，只有左子节点    // percolate down：令左子值为洞值，再令洞号下移至左子节点处    *(__first + __holeIndex) = *(__first + (__secondChild - 1));    __holeIndex = __secondChild - 1;  }  // 此时可能尚未满足次序特性。执行一次percolate up操作  __push_heap(__first, __holeIndex, __topIndex, __value);}template <class _RandomAccessIterator, class _Tp, class _Distance>inline void __pop_heap(_RandomAccessIterator __first, _RandomAccessIterator __last,           _RandomAccessIterator __result, _Tp __value, _Distance*){  *__result = *__first;    // 设定尾指为首值，于是尾值即为欲求结果，可由客户端稍后再以底层容器之pop_back()取出尾值  // 以上欲重新调整heap，洞号为0（亦即树根处），欲调整值为value（原尾值）  __adjust_heap(__first, _Distance(0), _Distance(__last - __first), __value);}template <class _RandomAccessIterator, class _Tp>inline void __pop_heap_aux(_RandomAccessIterator __first, _RandomAccessIterator __last,               _Tp*){  // 根据implicit represention heap的次序特性，pop操作的结果应为底部容器的第一个元素。因此，首先  // 设定欲调整值为尾值，然后将首值调至尾节点（所以以上将迭代器result设为last-1），然后重整[first,  // last-1)，使之重新成一个合格的heap  __pop_heap(__first, __last - 1, __last - 1,              _Tp(*(__last - 1)), __DISTANCE_TYPE(__first));}// pop_heap算法，从堆中删除元素// 版本1template <class _RandomAccessIterator>inline void pop_heap(_RandomAccessIterator __first,                      _RandomAccessIterator __last){  __STL_REQUIRES(_RandomAccessIterator, _Mutable_RandomAccessIterator);  __STL_REQUIRES(typename iterator_traits<_RandomAccessIterator>::value_type,                 _LessThanComparable);  __pop_heap_aux(__first, __last, __VALUE_TYPE(__first));}// 调整堆，版本2template <class _RandomAccessIterator, class _Distance,          class _Tp, class _Compare>void__adjust_heap(_RandomAccessIterator __first, _Distance __holeIndex,              _Distance __len, _Tp __value, _Compare __comp){  _Distance __topIndex = __holeIndex;  _Distance __secondChild = 2 * __holeIndex + 2;  while (__secondChild < __len) {    if (__comp(*(__first + __secondChild), *(__first + (__secondChild - 1))))      __secondChild--;    *(__first + __holeIndex) = *(__first + __secondChild);    __holeIndex = __secondChild;    __secondChild = 2 * (__secondChild + 1);  }  if (__secondChild == __len) {    *(__first + __holeIndex) = *(__first + (__secondChild - 1));    __holeIndex = __secondChild - 1;  }  __push_heap(__first, __holeIndex, __topIndex, __value, __comp);}template <class _RandomAccessIterator, class _Tp, class _Compare,           class _Distance>inline void __pop_heap(_RandomAccessIterator __first, _RandomAccessIterator __last,           _RandomAccessIterator __result, _Tp __value, _Compare __comp,           _Distance*){  *__result = *__first;  __adjust_heap(__first, _Distance(0), _Distance(__last - __first),                 __value, __comp);}template <class _RandomAccessIterator, class _Tp, class _Compare>inline void __pop_heap_aux(_RandomAccessIterator __first,               _RandomAccessIterator __last, _Tp*, _Compare __comp){  __pop_heap(__first, __last - 1, __last - 1, _Tp(*(__last - 1)), __comp,             __DISTANCE_TYPE(__first));}// 版本2template <class _RandomAccessIterator, class _Compare>inline void pop_heap(_RandomAccessIterator __first,         _RandomAccessIterator __last, _Compare __comp){  __STL_REQUIRES(_RandomAccessIterator, _Mutable_RandomAccessIterator);  __pop_heap_aux(__first, __last, __VALUE_TYPE(__first), __comp);}

• sort_heap()算法

  因为堆中每次执行pop_heap可获得堆中（大顶堆为例）中键值的最大元素，如果持续对整个heap做pop_heap操作，每次将操作范围从后向前缩减一个元素（pop_heap会把键值最大的元素放在底部容器的最尾端），当整个程序执行完毕时，便可得到递增的序列，即实现利用堆进行排序。

  // 堆排序算法，主要利用pop\_heap()算法实现// 版本1template <class _RandomAccessIterator>void sort_heap(_RandomAccessIterator __first, _RandomAccessIterator __last){  __STL_REQUIRES(_RandomAccessIterator, _Mutable_RandomAccessIterator);  __STL_REQUIRES(typename iterator_traits<_RandomAccessIterator>::value_type,                 _LessThanComparable);  // 以下，每执行一次pop_heap()，极值（在STL heap中为极大值）即被放在尾端。扣除尾端再执行一次pop_heap()，次极值  // 又被放在新尾端。一直下去，最后即得到排序结果  while (__last - __first > 1)    pop_heap(__first, __last--);     // 每执行pop_heap()一次，操作范围即退缩一格}// 版本2template <class _RandomAccessIterator, class _Compare>void sort_heap(_RandomAccessIterator __first,          _RandomAccessIterator __last, _Compare __comp){  __STL_REQUIRES(_RandomAccessIterator, _Mutable_RandomAccessIterator);  while (__last - __first > 1)    pop_heap(__first, __last--, __comp);}

• 参考文献

  STL源码剖析——侯捷

  STL源码