卷积和及采样定理

• 离散时间系统：

   y(n)=∑∞m=1x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)∀m∈ℕ

  式中“ * ”代表卷积运算,h(n)为该系统的单位冲激响应。此类卷积运算的步骤为：

  1.反折
  2.移位
  3.相乘
  4.相加

• 卷积长度
  若x(n)和h(n)的长度分别为N和M，则卷积结果的长度为N+M-1。

• N阶线性常系数差分方程：

  y(n)=∑Mj=0bjx(n−j)−∑Ni=1aiy(n−i)

  由上式可以看出，求n时刻的输出y(n)，需要知道系统n时刻及n时刻以前的输入序列值，及n时刻以前的输出序列值。n时刻以前的输出信号值就是求解差分方程的初始条件，级零输入响应。

  迭代版：

  y(n)=y(n−1)+x(n)

• 采样定理
  所谓模拟信号的数字处理方法就是将待处理模拟信号经过采样、量化和编码形成数字信号，再利用数字信号处理技术对采样得到的数字信号进行处理。

一个频带限制在(0,fc)赫兹内的模拟信号m(t)，若以采样频率fs≥2fc对模拟信号m(t)进行采样，得到最终的采样值，则可无混叠失真地恢复原始模拟信号m(t)。

其中，无混叠失真地恢复原始模拟信号m(t)是指被恢复信号与原始模拟信号在频谱上无混叠失真，并不是说被恢复信号与原始信号在时域上完全一样。由于采样和恢复器件的精度限制以及量化误差等存在，两者实际是存在一定误差或失真的。

奈奎斯特频率：通常把最低允许的采样频率fs=2fc称为奈奎斯特频率。

采样定理的几点小结：
1. 一个带限模拟信号 xa(t) ，其频谱的最高频率为 fc ，以间隔Ts 得到采样信号x̂ a(t),当且仅当fs≥2fc时，x̂ a(t)才可不失真的恢复xa(t)。
2. x̂ a(t)的频谱 X̂ a(jΩ) 是模拟信号xa(t)的频谱Xa(jΩ) 以Ω=2πfs 为周期进行周期延拓得到的。
3. 一般称fs/2为折叠频率，只要信号的最高频率不超过这个频率，就不会出现频谱混叠现象，否则，超过fs/2的频谱会“折叠”回来形成混叠现象。

分析连续时间信号的时域波形及其幅频特性曲线，原信号：
f(x)=0.5sin(2π∗65t)+0.8cos(2π∗40t)+0.7cos(2π∗30t)
对原信号进行采样，得到采样序列，对不同采样频率下的采样序列进行频谱分析，由采样序列恢复出连续时间信号，画出其时域波形，对比与原连续时间信号的时域波形。

MATLAB代码如下：

function fz = cy(fy,fs)%实现采样频谱分析绘图函数%fy：原信号函数，fy以字符串的格式输入%fs：采样频率fs0 = 1e4;tp = 0.1;t = [-tp:1/fs0:tp];k1 = 0:999; k2 = -999:-1;m1 = length(k1); m2 = length(k2);f = [fs0*k2/m2,fs0*k1/m1];%设置原信号的频率数组w = [-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];fx1 = eval(fy);%获取采样序列FX1 = fx1*exp(-j*[1:length(fx1)]'*w);%求原信号的离散时间傅里叶变换%画原信号figuresubplot(211),plot(t,fx1,'r')title('原信号');xlabel('t(s)'),ylabel('y(t)');axis([min(t),max(t),min(fx1),max(fx1)])grid on%画原信号频谱subplot(212),plot(f,abs(FX1),'r');title('原信号频谱');xlabel('f(Hz)'),ylabel('FX1');axis([-100,100,0,max(abs(FX1))+5]);grid on%对信号采样Ts = 1/fs;%采样周期t1 = -tp:Ts:tp;%采样时间序列f1 = [fs*k2/m2,fs*k1/m1];%设置采样信号的频率数组t = t1;fz = eval(fy);%获取采样序列FZ = fz*exp(-j*[1:length(fz)]'*w);%采样信号的离散时间傅里叶变换%画采样序列波形figuresubplot(211),stem(t,fz,'.');title('取样信号')xlabel('t(s)'),ylabel('y(t)')line([min(t),max(t)],[0,0]);grid on%画采样信号频谱subplot(212),plot(f1,abs(FZ),'m');title('取样信号频谱')xlabel('f(Hz)'),ylabel('FZ')grid onend

function fh = hf(fz,fs)%信号的恢复及频谱函数%fz:采样序列%fs:采样频率T = 1/fs;dt = T/10; tp = 0.1;t = -tp:dt:tp; n = -tp/T:tp/T;TMN = ones(length(n),1)*t-n'*T*ones(1,length(t));%t-nTfh = fz*sinc(fs*TMN);%由采样信号恢复原信号k1 = 0:999; k2 = -999:-1;m1 = length(k1);m2 = length(k2);w = [-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];FH = fh*exp(-j*[1:length(fh)]'*w);%恢复后的信号的离散时间傅里叶变换figure%恢复信号波形subplot(211),plot(t,fh,'g');st1 = sprintf('由取样频率fs=%d',fs);st2 = '恢复后的信号';st =[st1,st2];title(st);xlabel('t(s)'),ylabel('y(t)');axis([min(t),max(t),min(fh),max(fh)])line([min(t),max(t)],[0,0])grid on%画重构信号的频谱f = [10*fs*k2/m2,10*fs*k1/m1];subplot(212),plot(f,abs(FH),'g')title('恢复后信号的频谱');xlabel('f(Hz)'),ylabel('FH');axis([-100 100 0 max(abs(FH))+2]);grid onend

程序结果如下：
原信号及原信号频谱图

fs<2fmax时，为原信号的欠采样信号和恢复，即不满足采样定理，出现频谱混叠现象。