算法解剖系列-Canny边缘检测原理及实现

基本原理

• 须满足条件：抑制噪声；精确定位边缘。
• 从数学上表达了三个准则[信噪比准则（低错误率）、定位精度准则、单边缘响应准则]，并寻找表达式的最佳解。
• 属于先平滑后求导的方法。

算法基本步骤

1、使用高斯滤波平滑图像

令f(x,y)表示数据（输入源数据），G(x,y)表示二维高斯函数（卷积操作数），fs(x,y)为卷积平滑后的图像。

G(x,y)=12πσ2e−(x2+y2)2σ2

fs(x,y)=f(x,y)∗G(x,y)

Guess过程

• 用坐标点(x,y)表示一个3×3的邻域，设中心点的坐标为(0,0)，相邻的点以此类推。
  
  
  
  

• 计算权重矩阵。设定方差σ2=0.64的值，将对应各个坐标点(x,y)带入二维高斯公式G(x,y)中，得到一个权重矩阵，归一化权重矩阵(矩阵中各个点除以权重之和)，得到标准的权重矩阵，即高斯模板。

  

• 计算高斯模糊。设在一幅图像中的3×3区域内，用各像素点的灰度值乘以对应点的权重。

  
  
• 将得到的9个值求和，就是中心点的高斯模糊值。
  
  
  
  
  
  具体过程：http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/11/gaussian_blur.html

卷积过程

• 简单来说就是使用Guess模板在原始图像中进行移位、相乘、相加的过程。

2、计算梯度的幅值图像,角度图像

补充：求变化率时，对于一元函数，即求导；对于二元函数，求偏导。

数字图像处理中，用一阶有限差分近似求取灰度值的梯度值(变化率)。
(即：使差商(Δf/Δx)近似取代微商(∂f/∂x)。求灰度的变化率，分别取x和y方向上相邻像素做差，代替求取x和y方向一阶偏导)

例：计算一点x方向和y方向的梯度幅值和方向

上图中显示一段直的边缘线段放大后一部分，每个方块代表一个像素点，用一个方框强调点处边缘的幅值和方向。令灰色像素值为0，白色像素值为1.
如图关于一点为中心的3×3邻域，使用Prewitt卷积模板进行计算：

px=⎡⎣⎢−101−101−101⎤⎦⎥,py=⎡⎣⎢−1−1−1000111⎤⎦⎥

根据x方向和y方向的卷积模板，可知，在3×3邻域中从底部一行像素值减去顶部一行的像素，得到x方向的偏导数(梯度)；同样，从右边一列像素值减去左边一列的像素，得到y方向的偏导数。
x方向的梯度： gx=∂f/∂x=(0−0)+(0−1)+(0−1)=−2
y方向的梯度：gy=∂f/∂x=(1−0)+(1−0)+(0−0)=2
由此，可以得到该点梯度的幅值和方向：
M(x,y)=g2x+g2y−−−−−−√=22√
α(x,y)=arctan[gy/gx]=135°
如下图表示了中心点的梯度向量、方位角以及边缘方向。（任一点的边缘与梯度向量正交）

注意：

• gx,gy,M(x,y)和α(x,y)都是与原图像大小相同的图像。
• α(x,y)是为了确定梯度的方向，以及确定非极大值抑制时的对比方向;
• M(x,y)用来确定是否为边缘点，幅值越大，表示像素区域灰度值变化越明显，更能代表边缘点.

Canny算子卷积模板：
px=[−1−111],py=[1111]
p[i,j]=(f[i,j+1]−f[i,j]+f[i+1,j+1]−f[i+1,j])/2
Q[i,j]=(f[i,j]−f[i+1,j]+f[i,j+1]−f[i+1,j+1])/2
M[i,j]=p[i,j]2+Q[i,j]2−−−−−−−−−−−−−√
θ=arctan(Q[i,j]/p[i,j])

3、对幅值图像进行应用非极大值抑制

• 首先将角度划分成四个方向范围:水平(0°)、−45°、垂直(90°)、+45°。如下图：
  
  
  
  
• 接着讨论对3×3区域的四个基本边缘方向进行非极大值抑制。
  
  
  
  
  
  做法：若中心点（即：访问点）在沿其方向上邻域的梯度幅值最大，则保留；否则，抑制。

4、双阈值检测和连接边缘

• 选取高阈值TH和低阈值TL，比率为2:1或3:1。（一般取TH=0.3/0.2,TL=0.1）
• 取出非极大值抑制后的图像中的最大梯度幅值，重新定义高低阈值。即：TH×Max,TL×Max。(当然可以自己给定)
• 将小于TL的点抛弃，赋0；将大于TH的点立即标记（这些点就是边缘点），赋1。
• 将大于TL，小于TH的点使用8连通区域确定（即：只有与TH像素连接时才会被接受，成为边缘点，赋1）。

注意：双阈值做法是将候选像素点拼接成轮廓，轮廓的形成时对这些像素运用滞后性阈值。

算法实现

Matlab代码

clear all;clc;I = imread('rice.png');%读图% I = rgb2gray(I);%灰度转换I = double(I);%转化为双精度[H,W] = size(I);%获取图像大小%%  Step1：使用高斯滤波平滑图像B = [1 2 1;2 4 2;1 2 1];%高斯滤波系数B = 1/16.*B;%高斯滤波模板 方差=0.8A = conv2(I,B,'same');%使用高斯模板进行卷积.计算二维卷积,结果与原图像大小相同 %%  Step2：计算梯度的幅值图像,角度图像.%Prewitt梯度模板dx = [-1 0 1;-1 0 1;-1 0 1];%x方向的梯度模板dy = [1 1 1; 0 0 0;-1 -1 -1];%y方向的梯度模板gx = conv2(A,dx,'same');%获取x方向的梯度图像.使用梯度模板进行二维卷积,结果与原图像大小相同gy = conv2(A,dy,'same');%获取y方向的梯度图像.使用梯度模板进行二维卷积,结果与原图像大小相同M = sqrt((gx.^2) + (gy.^2));%获取幅值图像.大小与原图像相等.(.^)表示数组乘方a = atan2(gy,gx);%获取弧度，范围：-pi~pia = a*180/pi;%将弧度转换为角度，得到角度图像，与原图像大小相等.%%  Step3：对幅值图像进行应用非极大值抑制%首先将角度划分成四个方向范围:水平(0°)、-45°、垂直(90°)、+45°for i = 1:H    for j = 1:W        if((a(i,j) >= -22.5) && (a(i,j) < 0)||(a(i,j) >= 0) && (a(i,j) < 22.5) || (a(i,j) <= -157.5) && (a(i,j) >= -180)||(a(i,j) >= 157.5)&&(a(i,j) <= 180))            a(i,j) = 0;        elseif((a(i,j) >= 22.5) && (a(i,j) < 67.5) || (a(i,j) <= -112.5) && (a(i,j) > -157.5))            a(i,j) = -45;        elseif((a(i,j) >= 67.5) && (a(i,j) < 112.5) || (a(i,j) <= -67.5) && (a(i,j) >- 112.5))            a(i,j) = 90;        elseif((a(i,j) >= 112.5) && (a(i,j) < 157.5) || (a(i,j) <= -22.5) && (a(i,j) > -67.5))            a(i,j) = 45;          end    endend%讨论对3x3区域的四个基本边缘方向进行非极大值抑制.获取非极大值抑制图像Nms = zeros(H,W);%定义一个非极大值图像for i = 2:H-1    for j= 2:W-1        if (a(i,j) == 0 && M(i,j) == max([M(i,j), M(i,j+1), M(i,j-1)]))            Nms(i,j) = M(i,j);        elseif (a(i,j) == -45 && M(i,j) == max([M(i,j), M(i+1,j-1), M(i-1,j+1)]))            Nms(i,j) = M(i,j);        elseif (a(i,j) == 90 && M(i,j) == max([M(i,j), M(i+1,j), M(i-1,j)]))            Nms(i,j) = M(i,j);        elseif (a(i,j) == 45 && M(i,j) == max([M(i,j), M(i+1,j+1), M(i-1,j-1)]))            Nms(i,j) = M(i,j);        end;    end;end;%%  Step4:双阈值检测和连接边缘DT = zeros(H,W);%定义一个双阈值图像TL = 0.1 * max(max(Nms));%低阈值TH = 0.3 * max(max(Nms));%高阈值for i = 1  : H    for j = 1 : W        if (Nms(i, j) < TL)            DT(i,j) = 0;        elseif (Nms(i, j) > TH)            DT(i,j) = 1 ;        %对TL < Nms(i, j) < TH 使用8连通区域确定        elseif ( Nms(i+1,j) > TH || Nms(i-1,j) > TH || Nms(i,j+1) > TH || Nms(i,j-1) > TH || Nms(i-1, j-1) > TH || Nms(i-1, j+1) > TH || Nms(i+1, j+1) > TH || Nms(i+1, j-1) > TH)            DT(i,j) = 1;        end;    end;end;figure, imshow(DT); %最终的边缘检测为二值图像

效果图