数列基础

对于 k 阶常系数齐次线性递归数列

an+k=∑i=1kpian+k−i(pk≠0)

所对应的一元 k 次方程

xk=∑i=1kpixk−i

称为数列an的特征方程，其根称为特征根

1） 若 λi 是特征方程的 k 个互不相等的根，则 an=∑ki=1ciλni
其中 c1,c2…ck 由方程组
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ1c1+λ2c2+⋯+λkck=a1λ21c1+λ22c2+⋯+λ2kck=a20000000000000⋮λk1c1+λk2c2+⋯+λkkck=ak
惟一确定

2）若 λi 是特征方程的 m 个互不相等的根，其重数是 ki，则an=∑mi=1pi(n)λni
其中 pi(n)=∑kij=1Cijnj−1
系数Cij由下列方程组
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪p1(1)λ1+p2(1)λ2+⋯+pm(1)λm=a1p1(2)λ21+p2(2)λ22+⋯+pm(2)λ2m=a20000000000000000000⋮p1(k)λk1+p2(k)λk2+⋯+pm(k)λkm=ak
惟一确定

k 阶常系数齐次线性递归数列是模周期数列

斐波那契数列的性质：
1）F2n−Fn−1Fn+1=(−1)n−1,F2n+1−FnFn+1−F2n=(−1)n
2）(Fn,Fn+1)=1
3）Fm+n=FmFn+1+Fm−1Fn
4）(Fm,Fn)=F(m,n)