信息熵与贝叶斯网络

一、信息熵

1.相对熵

 又称互熵，交叉熵，KL散度。设p(x)、q(x)是X中取值的两个概率分布，则p对q的相对熵是

相对熵可以度量两个随机变量的“距离”

2.互信息

两个随机变量X，Y的互信息，定义为X，Y的联合分布和独立分布乘积的相对熵。

3.信息增益（可用于决策树构建）

信息增益表示得知特征A的信息而使得类X的信息的不确定性减少的程度。

定义：特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)，定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差，即g(D,A)=H(D)-H(D|A)，显然，这即为训练数据集D和特征A的互信息。

二、贝叶斯网络

1.贝叶斯公式

给定某些样本D，在这些样本中计算某些结论A1、A2、.........An出现的概率，即P(Ai|D)

第一个等式：贝叶斯公式；

第二个等式：样本给定，则对于任何Ai，P(D)均为常数，仅为归一化因子；

第三个箭头：若这些结论A1，A2，.....An的先验概率相等（或近似），则得到最后一个等式，即第二行的公式。

2.朴素贝叶斯的假设

一个特征出现的概率，与其他特征（条件）独立（特征独立性），其实是对于给定分类的条件下，特征独立。

p(x1|c1)是指在垃圾邮件c1这个类别中，单词x1出现的概率。

定义符号 

n1：在所有垃圾邮件中单词x1出现的次数。如果x1没有出现过，则n1=0；

n：属于c1类的所有文档的出现过的单词总数目。

得到公式：

如果n1=0，n1/n为0，此时分子出现为0，不合理，不能只能因为没有单词x1，整体都变成零了。此时引入拉普拉斯平滑。

3.拉普拉斯平滑：，加1是为了避免分子为0，分母加N，相当于文档中所有单词出现的次数加1，因此修正分母是为了保证概率和为1。拉普拉斯平滑能够避免0/0带来的算法异常

4.贝叶斯网络

把某个研究系统中涉及的随机变量，根据是否条件独立绘制在一个有向图中，就形成了贝叶斯网络，其又称为有向无环图模型，是一种概率图模型，根据概率图的拓扑结构，考察一组随机变量{X1,X2,...Xn}及其n组条件概率分布。

一般而言，贝叶斯网络的有向无环图中的节点表示随机变量，它们可以是可观察到的变量，或隐变量，未知参数等。连接两个节点的箭头代表此两个随机变量是具有因果关系（或非条件独立）。若两个节点间以一个单箭头连接在一起，表示其中一个节点是“因”，另一个是“果”，两节点就会产生一个条件概率值。

每一节点在给定其直接前驱时，条件独立于其非后继。

举一个例子，如下图所示

                                                      

直观上：x1和x2独立；x6和x7在x4给定的条件下独立

x1,x2,...x7的联合分布

5.特殊的贝叶斯网络

（图像取自七月算法）

结点形成一条链式网络，称作马尔科夫模型。A(i+1)只与Ai有关，与A1，...,A(i-1)无关。（属于贝叶斯网络判定条件独立head-to-tail型）

pLSA主题模型。

6.贝叶斯网络的建立：（1）领域知识（专家）；

(2)无领域知识，则从数据角度，

7.通过贝叶斯网络判定条件独立：

（1）在c给定的条件下，a,b被阻断，是独立的，条件独立tail-to-tail；

                         （图像取自七月算法）

(2)在c给定的条件下，a,b被阻断，是独立的，条件独立head-to-tail；   

               （图像取自七月算法）

(3)在c未知的条件下，a,b被阻断，是独立的：head-to-head

                 （图像取自七月算法）

8.贝叶斯网络的用途

通过给定的样本数据，建立贝叶斯网络的拓扑结构和结点的条件概率分布参数。这往往需要借助先验知识和极大似然估计来完成。

在贝叶斯网络确定的结点拓扑结构和条件概率分布的前提下，可以使用该网络，对未知数据计算条件概率或后验概率，从而达到诊断、预测或者分类的目的。