ccf201312-4有趣的数，递推

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问题描述

　　我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
　　1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
　　2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
　　3. 最高位数字不为0。
　　因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
　　请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

输入格式

　　输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。

输出格式

　　输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。

样例输入

4

样例输出

3

0在1之前，2在3之前，0123至少出现一次。由题意开头的数只能是2。

从最高位开始，一位一位的递推，不过需要递推多个情况来得出结论。

根据条件，第i位（i>0）可能出现的情况有：

 假设第i位已知

前i位之前出现的数
（其他在第i位数之前未出现）

 

 

 

 

0

因为第一位为2，所以必然有2出现

 

0,1

a[i]

2

a[i+1]

=

a[i]

b[i]

0,2

b[i+1]

=

b[i]+b[i]+a[i]

c[i]

2,3

c[i+1]

=

c[i]+a[i]

d[i]

0,2,1

d[i+1]

=

d[i]+d[i]+b[i]

e[i]

0,2,3

e[i+1]

=

e[i]+e[i]+c[i]+b[i]

f[i]

2,3,0,1

f[i+1]

=

f[i]+f[i]+d[i]+e[i]

以此得到递推公式。

另外，可以通过数列的相关知识，求得一个f[i]关于i的公式，将算法的复杂度直接从O(n)降到O(1)，这大概才是最佳的答案吧。

题目得到的结果比较大，可以边加边求余，不影响结果。

C语言代码

#include <stdio.h>long long a,b,c,d,e,f;long long ta,tb,tc,td,te,tf;int main(){    int i=0,num;    a=b=c=d=e=f=g=h=0;    a++;//第一位为2    scanf("%d",&num);    for(i=1;i<num;i++){//从第二位开始求解，循环num-1次        //ta=a;        tb=b+b+a;        tc=c+a;        td=d+d+b;        te=e+e+c+b;        tf=f+f+d+e;        //a=ta%1000000007LL;        b=tb%1000000007LL;        c=tc%1000000007LL;        d=td%1000000007LL;        e=te%1000000007LL;        f=tf%1000000007LL;    }    printf("%d",f);}