算法基础 - 多源点最短路径(Floyd算法)

Floyd算法

Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

思路

路径矩阵

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。
引用自：百度百科

采用松弛技术（松弛操作），对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3);

状态转移方程

其状态转移方程如下：

map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}；

map[i,j]表示i到j的最短距离，K是穷举i,j的断点，map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。
当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有map[i,k]这条路。

其实就是枚举第三个点，看是否能出现 1->3->2的距离比1->2的短

复杂度

时间复杂度： O(N^3);
空间复杂度：O(N^2);

伪代码

For k:=1 to nFor i:=1 to nFor j:=1 to n    If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then        D[i,j]:=D[i,k]+D[k,j];

代码实现

////  main.cpp//  HiHocoder////  Created by Alps on 16/5/9.//  Copyright © 2016年 chen. All rights reserved.//#include <iostream>#include <cstring>#include <string>using namespace std;long long dist[102][102]; //表示最大节点数是101个long long minNum(long long a, long long b){    if(a == -1) return b;    return a < b ? a : b;}void floyd(long long dist[][102], int N){    for(int i = 1; i <= N; i++){        for(int j = 1; j <= N; j++){            for(int k = 1; k <= N; k++){                if(dist[j][i] == -1 || dist[i][k] == -1){                    continue;//如果没路径别走                }                dist[j][k] = minNum(dist[j][k], dist[j][i]+dist[i][k]);            }        }    }}int main(){    int N,M;    while(cin>>N>>M){        for(int i = 0; i <= N; i++){            for(int j = 0; j <= N; j++){                dist[i][j] = -1; //初始化为-1 表示无穷远                if(i == j){                    dist[i][j] = 0;                }            }        }        int x, y, d;        for(int i = 0; i < M; i++){            cin>>x>>y>>d;            dist[x][y] = minNum(dist[x][y], d);            dist[y][x] = dist[x][y];//无向图，如果是有向图去掉这个路径        }        floyd(dist, N);        for(int i = 1; i <= N; i++){ //输出整个矩阵            for(int j = 1; j<= N; j++){                cout<<dist[i][j]<<" ";            }            cout<<endl;        }    }    return 0;}