红黑树

摘要：

　　红黑树是一种二叉查找树，但在每个结点上增加了一个存储位表示结点的颜色，可以是RED或者BLACK。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。本章主要介绍了红黑树的性质、左右旋转、插入和删除。重点分析了在红黑树中插入和删除元素的过程，分情况进行详细讨论。一棵高度为h的二叉查找树可以实现任何一种基本的动态集合操作，如SEARCH、PREDECESSOR、SUCCESSOR、MIMMUM、MAXMUM、INSERT、DELETE等。当二叉查找树的高度较低时，这些操作执行的比较快，但是当树的高度较高时，这些操作的性能可能不比用链表好。红黑树（red-black tree）是一种平衡的二叉查找树，它能保证在最坏情况下，基本的动态操作集合运行时间为O(lgn)。本章内容有些复杂，看了两天，才大概清楚其插入和删除过程，日后需要经常回顾，争取完全消化掉。红黑树的用途非常广泛，例如STL中的map就是采用红黑树实现的，效率非常之高，有机会可以研究一下STL的源代码。

1、红黑树的性质

　　红黑树中的每个结点包含五个域：color、key、left、right和parent。如果某结点没有一个子结点或父结点，则该结点相应的指针parent域包含值为NIL（NIL并是是空指针，此处有些迷惑，一会解释）。把NIL视为指向红黑树的外结点（叶子）的指针，而把带关键字的结点视为红黑树的内结点。红黑树结点结构如下所示：

 1 #define RED  0 2 #define BLACK 1 3 struct RedBlackTreeNode 4 {  5     T key; 6     struct RedBlackTreeNode * parent; 7     struct RedBlackTreeNode * left; 8     struct RedBlackTreeNode * right; 9     int color;10 };

红黑树的性质如下：

（1）每个结点或是红色，或是黑色。

（2）根结点是黑色。

（3）每个叶子结点（NIL）是黑色。

（4）如果有一个结点是红色，则它的两个儿子都是黑色。

（5）对每个结点，从该结点到其孙子结点的所有路径上包含相同数目的黑色结点。

如下图是一棵红黑树：

从图可以看出NIL不是空指针，而是一个叶子结点。实际操作的时候可以将NIL视为哨兵，这样便于对黑红色进行操作。红黑树的操作主要是对内部结点操作，因为内部结点存储了关键字的值。书中为了便于讨论，忽略了叶子结点的，如是上图红黑树变成如下图所示：

　　书中给出了黑高度的概念：从某个结点x出发（不包含该结点）到达一个叶子结点的任意一条路径上，黑色结点的个数称为该结点的黑高度。由红黑树的性质（5）可知，从该结点出发的所有下降路径都有相同的黑色结点个数。红黑树的黑高度定义为其根结点的黑高度。

　　书中给出了一个引理来说明为什么红黑树是一种好的查找树，并对引理进行了证明（采用归纳法进行证明的，需要很强的归纳推理知识，正是我的不足之处，看书的痛苦在于此）。

引理：一棵有n个内结点的红黑树的高度之多为2lg(n+1)。

2、旋转

　　在红黑树上进行结点插入和删除操作时，会改变树的结构形状，导致结果可能不满足了红黑树的某些性质，为了保证每次插入和删除操作后，仍然能报维持红黑树的性质，需要改变树中某些结点的颜色和指针结构。其中的指针结构的改变通过旋转完成的。书中给出了两种旋转：左旋转和右旋转。如下图是旋转过程：

　　从图可以得出左右旋转的过程，假设对某个结点x进行左旋转，y是x的右孩子，则左旋转过程为：以x和y之间的链为“支轴”进行的，使得x的右孩子为y的左孩子，y的父节点为x的父节点，y的左孩子为x。书中给出了左旋转的伪代码如下：

 1 LEFT_ROTATE(T,x) 2    y = right[x]   //获取右孩子 3    rihgt[x] = left[y]  //设置x的右孩子为y的左孩子 4    if left[y] != NIL 5        then parent[left[x]] = x 6     parent[y] = parent[x]  //设置y的父节点为x的父节点 7     if parent[x] == NIL 8        then root[T] = y 9        else if x==left[parent[x]10               then left[parent[x]] = y11               else  right[[parent[x]] = y12     left[y] = x  //设置y的左孩子为x13     parent[x] =y14 15    

假设对某个结点y进行右旋转，x是y的左孩子，则左旋转过程为：y的左孩子设置为x的右孩子，将x的父节点设置为y的父节点，x的右孩子设置为y。书中并没有给出右旋转的伪代码，参照左旋转的伪代码很容易实现：

 1  RIGHT_ROTATE(T,y) 2      x = left[y]    //获取左孩子 3      left[y] = right[x] //设置y的左孩子为x的右孩子 4      if right[x] != NIL 5         then parent[right[x]] = y 6      parent[x] = parent[y]  //设为x的父节点为y的父结点 7      if parent[y] == NIL 8          then root = x 9          else if y== left[parent[y]]10                then left[parent[y]] = x11                else  right[parent[y]] = x12      right[x] = y //设置x的右孩子为y13      parent[y] = x

3、插入

　　红黑树插入一个新结点的过程RB_INSERT是在二叉查找树插入过程的基础上改进的，先按照二叉排序的插入过程插入到红黑树中，然后将新插入的结点标记为红色（疑问：为什么是红色，而不是黑色呢？），然后调用一个辅助的过程RB_INSERT_FIXUP来调整结点并重新着色，使得满足红黑树的性质。关于二叉查找树的插入过程可以参考上一篇日志：http://www.cnblogs.com/Anker/archive/2013/01/28/2880581.html。书中给出了RB_INSERT的伪代码：

 1 RB_INSERT(T,z) 2   y = NIL 3   x =root(T) 4   while x != NIL 5        do y=x 6            if key[z]<key[x] 7              then x=left[x] 8              else  x=right[x] 9   parent[z] = y10   if y =NIL11      then root =z12      else if key[z] < key[y]13             then left[y] =z14             else  right[y] =z15    left[z] = NIL16    right[z] =NIL17    color[z] = RED  //新插入结点标记为红色18    RB_INSERT_FIXUP(T,z)  //进行调整，使得满足红黑树性质

　　红黑树的插入过程最主要的是RB_INSERT_FIXUP过程，书中发了很大的篇幅进行介绍。首先分析了当插入一个新的结点后，会破坏红黑树的哪些性质，然后针对可能的破坏性质进行分类讨论并给出了给出了解决办法。因为每次插入的新元素标记为RED，这样可能性质2（根节点为黑色）和性质4（一个红结点的左右孩子都是黑色的）被破坏。例如下图插入一个新结点，破坏了性质4。

      如果每次插入新的结点z导致红黑树性质被破坏，则之多只有一个性质被破坏，并且不是性质2就是性质4。违反性质2是因为z是根且为红色，违反性质4是因为z和其父节点parent[z]都是红色的。

　　如果性质2被违反了，则红色的根必定是新增的结点z，它是树中唯一的内结点，由于z的父接点和两个子女都是NIL（黑色），不违反性质4。违反性质2在整个插入过程中只有这一次。所以对于违反性质2的结点，直接将其结点变成黑色即可。

　　剩下的问题是对于违反性质4的处理，在插入新结点z之前，红黑树的性质没有被破坏。插入结点z后违反性质4，必定是因为z和其父亲结点parent[z]都是红色的，此时只违反性质4，而没有违反其他性质。假设新插入结点z，导致红黑树性质4被破坏，此时z和其父节点parent[z]都是红色，由于在插入结点z之前红黑树的性质没有被破坏，parent[z]是红色，很容易推出z的祖父结点parent[parent[z]]必定是黑色。此时根据parent[z]是parent[parent[z]]的左孩子还是右孩子进行讨论。因为左右之间是对称的，书中只给出了parent[z]作为parent[parent[z]]的左孩子进行讨论的，然后给出了三种可能的情况。

情况1）：z的叔叔结点y是红色的

　　此时parent[z]和y都是红色的，解决办法是将z的父节点parent[z]和叔叔结点y都着为黑色，而将z的祖父结点parent[parent[z]]着为红色，然后从祖父结点parent[parent[z]]继续向上判断是否破坏红黑树的性质。处理过程如下图所示：

情况2）：z的叔叔y是黑色的，而且z是右孩子

情况3）：z的叔叔y是黑色的，而且z是左孩子

　　情况2和情况3中y都是黑色的，通过z是左孩子还是右孩子进行区分的。可以将情况2通过旋转为情况3。情况2中z是右孩子，旋转后成为情况3，使得z变为左孩子，可以在parent[z]结点出使用一次左旋转来完成。无论是间接还是直接的通过情况2进入到情况3，z的叔叔y总是黑色的。在情况3中，将parent[z]着为黑色，parent[parent[z]]着为红色，然后从parent[parent[z]]处进行一次右旋转。情况2、3修正了对性质4的违反，修正过程不会导致其他的红黑性质被破坏。修正过程如下图所示：

　　给一个完整的例子来说明插入过程，如下图所示：

　　书中给出了RB_INSERT_FIXUP的伪代码，伪代码中只给出了z的父节点为左孩子的情况，为右孩子的情况与左孩子的情况是对称的，只需将左孩子中的right换成left即可。

 1 RB_INSERT_FIXUP(T,z) 2          while color[parent[z]] = RED 3            do if parent[z] == left[parent[parent[z]]] 4                   then y = right[parent[parent[z]]] 5                        if color[y] == RED    //情况1，z的叔叔为红色 6                             then color[parent[z]] = BLACK 7                                  color[y] = BLACK 8                                  color[parent[parent[z]]=RED 
9                                   z= parent[parent[z]]10                                  else if z == right[parent[z]]    //情况2，z的叔叔为黑色，z为右孩子11                                        then z = parent[z]12                                             LEFT_ROTATE(T,z)13                                         color[parent[z]]=BLACK    //情况3，z的叔叔为黑色，z为左孩子14                                         color[parent[parent[z]] = RED15                                         RIGHT_ROTATE(T, parent[parent[z]])16                  else (same as then clause with “right” and “left” exchanged)17    color(root(T)) = BLACK; //将根结点设置为黑色

4、删除

　　 删除过程最复杂，看了好多遍才明白个大概，需要反复看，多想删除过程中会破坏哪些性质，然后又针对性的去调整。

　　红黑树删除结点过程是在二叉查找树删除结点过程的基础改进的。与二叉查找树类似，删除的结点分为三种情况：<1>无左右孩子、<2>有左孩子或者右孩子、<3>既有树=左孩子又有右孩子。删除过程可以参考前一篇日志：http://www.cnblogs.com/Anker/archive/2013/01/28/2880581.html。红黑树在删除结点后需要检查是否破坏了红黑树的性质。如果删除的结点y是红色的，则删除后的树仍然是保持红黑树的性质，因为树中各个结点的黑高度没有改变，不存在两个相邻（父结点和子结点）的红色结点，y是红色不可能是根，所有根仍然是黑色。如果删除的结点z是黑色的，则这个是破坏了红黑树的性质，需要调用RB_DELETE_FIXUP进行调整。从删除结点y的唯一孩子结点x或者是NIL处开始调整。书中给出了RB_DELETE的伪代码：

 1 RB_DELETE(T,z) 2      if left[z] ==NIL or right[z] == NIL 3         then y=z 4         else  y=TREE_SUCCESSOR(z) 5     if left[y] != NIL 6         then x=left[y] 7         else  x=right[y] 8     parent[x] = parent[y] 9     if p[y] ==NIL10        then root[T] =x11        else if y = left[[prarnt[y]]12                    then left[parent[y]] = x13                    else  right[parent[y]] =x14      if y!=z15          then key[z] = key[y]16                copy y's data into z17      if color[y] == BLACK    //当被删除结点为黑色时候进行调整18          then RB_DELETE_FIXUP(T,x)19       return y

　　书中分析了被删除结点y是黑色会产生的问题：首先，如果y是根，而y的一个红色孩子变成了新根，则违反了性质2。其次，如果x和parent[y]（此时parent[x] = parent[y]）都是红色，就违反了性质4。第三，删除y将会导致先前包含y的任何路径上黑结点个数减少1，违反了性质5。书中给出了解决第三个问题的办法：将结点x设为还有额外的一重黑色（此处看的不是很明白，我的理解是是不管是x是什么颜色，将x增加了额外一重黑色，这样可以保证黑结点数目增加1个），即将任意包含结点x的路径上黑结点个数加1，这样可以保证性质5成立。当将黑色结点y被删除时，将其黑色“下推”至其子结点，导致问题变成为结点x可能即不是红，又不是黑，从而违反性质1。因为给x增加了一种颜色，即结点x是双重黑色或者是红黑色。这样就分别给包含x的路径上黑结点个数贡献2个或1个。但是x的color属性仍然是RED（如果x是红黑的）或BLACK（如果x是双重黑色）。换而言之，一个结点额外的黑色反映在x指向它，而不是它的color属性。

　　过程RB_DELETE_FIXUP恢复性质1，2，4。对于恢复性质2、4很简单，因为x是红色，所有直接将x结点着为黑色即可。书中着重介绍了如何恢复性质1。此时x是黑色，需要根据x是左孩子还是右孩子两种情况进行恢复，因为左右是对称的，书中只给出了x是左孩子的恢复过程。将x作为第一个额外的黑色结点，从x结点开始循环，将额外的黑色结点沿着树向上移，直到：

（1）x指向一个红黑结点，此时将x单独着为黑色。

（2）x指向根，这时可以简单地消除那个额外的黑色，或者

（3）做必要的旋转和颜色改变

在循环过程中，x总是指向具有双重黑色的那个非根结点。设w是x的兄弟结点，因为x是双重黑色的，故w不可能是NIL。书中分四种情况讨论：

情况1：x的兄弟w是红色的

          此时因为x是双重黑色，贡献两个黑色结点，所有w必有黑色孩子。此时将w着为黑色，parent[x]为红色，在对parent[x]做一次左旋转。此时x的新兄弟w是黑色，这样将情况1转换为情况2、3或4。情况1的处理过程下图所示：

情况2：x的兄弟w是黑色的，而且w的两个孩子都是黑色的。

     处理过程是从x和w上去掉一重黑色，即x只有一重黑色而w着为红色，给x的父节点parent[x]添加额外黑色。处理过程如下图所示：

 

情况3：x的兄弟w是黑色的，w的左孩子是红色的，右孩子是黑色的

       交换w和其左孩子left[w]的颜色，并对w进行右旋转。旋转后x的新兄弟w是一个有红色右孩子的黑结点，转换成了情况4。处理过程如下图所示：

情况4：x的兄弟w是黑色的，而且w的右孩子是红色的。

　　执行过程是将w的颜色设置为parent[x]的颜色，将parent[x]的颜色设置为黑色，将w的右孩子着为黑色，然后在parent[x]做一次右旋，最后将x设置为根root。处理过程如下图所示：

书中给出了RB_DELETE_FIXUP的伪代码：

 1 RB_DELETE_FIXUP(T,x) 2  　　while x!= root[T] and color[x] ==BLACK 3          do if x == left[parent[x]] 4                then w = right[parent[x]] 5                     if color[w] == RED  //case 1 x的兄弟w是红色的 6                        then color[w] = BLACK 7                             color[parent[x]] = RED 8                             LEFT_ROTATE(T,PARENT[x]) 9                             w = right[parent[x]]10                        if color[left[w]] == BLACK and color[right[w]] = BLACK11                        　　 then color[w] = RED  //case 212                             x = parent[x]13                            else if color[right[w]] =BLACK14                                   then color[left[w]] = BLACK //case 315                                        color[w] = RED16                                        RIGHT_ROTATE(T,w)17                                        w = right[parent[x]]18                                color[w] = color[parent[x]] //case 419                                color[parent[x]] = BLACK20                                color[right[w]] = BLACK21                                LEFT_ROTATE(T,parent[x])22                                x=root(T)23              else(same as then clasue with “right” and “left” exchanged)24      color[x]=BLACK