AVL树

1.什么事AVL树
AVL树本质上还是一棵二叉搜索树（因此读者可以看到我后面的代码是继承自二叉搜索树的），它的特点是：
1. 本身首先是一棵二叉搜索树。
2. 带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。

2.AVL树的优点
我们先来看看二叉搜索树吧（因为AVL树本质上是一棵二叉搜索树），假设有这么一种极端的情况：二叉搜索树的结点为1、2、3、4、5，也就是：
上图显示的树查找的时间复杂度为O（n），显而易见——这棵二叉搜索树其实等同于一个链表了。
好，那么假如是AVL树（别忘了AVL树还是二叉搜索树），则会是：

可以看出，AVL树的查找平均时间复杂度要比二叉搜索树低——它是O(logN)。也就是说，在大量的随机数据中AVL树的表现要好得多。

3 旋转
假设有一个结点的平衡因子为2（在AVL树中，最大就是2，因为结点是一个一个地插入到树中的，一旦出现不平衡的状态就会立即进行调整，因此平衡因子最大不可能超过2），那么就需要进行调整。由于任意一个结点最多只有两个儿子，所以当高度不平衡时，只可能是以下四种情况造成的：
1. 对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入。
2. 对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。
3. 对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。
4. 对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入。
情况1和4是关于该点的镜像对称，同样，情况2和3也是一对镜像对称。因此，理论上只有两种情况，当然了，从编程的角度来看还是四种情况。
第一种情况是插入发生在“外边”的情况（即左-左的情况或右-右的情况），该情况可以通过对树的一次单旋转来完成调整。第二种情况是插入发生在“内部”的情况（即左-右的情况或右-左的情况），该情况要通过稍微复杂些的双旋转来处理。

3．1 单旋转
情况1：对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入。

左边为调整前得节点，我们可以看出k2的左右子树已不再满足AVL平衡条件，调整后的为右图。
我们可以看出，解决办法是将x上移一层，并将z下移一层，由于在原树中k2 > k1，所以k2成为k1的右子树，而y是小于k2的，所以成为k2的左子树。

情况4：对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入。

左边为调整前得节点，我们可以看出k1的左右子树已不再满足AVL平衡条件，调整后的为右图。
我们可以看出，解决办法是将z上移一层，并将x下移一层，由于在原树中k2 > k1，所以k1成为k2的左子树，而y是大于k1的，所以成为k1的右子树。

3．2 双旋转
情况2：对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。

我们发现通过一次左旋或者右旋都无法实现平衡。这时可以分两步进行。首先将左子树左旋，然后将整体右旋。第一步如下图：

情况3：对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。