让人纠结的几何——《数学是什么》读书笔记（4）

乐乐老师/文

今天说一下几何。

我对几何不太了解，所以说话要小心点儿。

在初中，几何就显示了与代数大相径庭的一面。代数、几何，一数一形，就像《射雕》中的东邪西毒，风格迥异，哪儿哪儿都不一样。相对来说，代数问题的套路相对固定，拼到最后是拼内力；而几何的招式则千变万化，法无定法，式无定式。一道代数题，即使不会，也能写上点儿，但是一道几何题说撂那儿就撂那儿了。初中我们学的是欧几里得几何，这就是它的臭毛病。

但正是这个欧氏几何，让欧洲的数学改变了模样。

几何学舍弃了物质的所有其它性质，只保留了空间形式和关系。这种抽象性决定了欧几里得几何的思维方法，即逻辑推理的方法。许多欧洲数学家学习都从《几何原本》学起，锤炼自己的思辨能力，所以从它问世，欧洲的数学就变成了推理的数学。

《几何原本》

中国数学走了一条完全相反的道路，这一道路最终使中国数学走向衰落。《九章算术》很牛，但是其叙述多为解决实际问题，从问题中体现计算技巧。问题解决了也就解决了，能否推广，能否挖掘，能否道出更深刻的意义呢？

干完收工，操那么多闲心干嘛？

《九章算术》

我们的文化很讲究实用性，没有用的东西不讨论。但是这个东西到底有用没用说谁能说得清楚呢？你所说的没用只是以你的眼界来看，你怎么知道其他人看来就没有用呢？也许今天没有用，这个时代没有用，你怎么知道永远没有用呢？但是可惜，只要对我没用，今天没用，我说没用，它就是没用。

直到今天，中国许多天天用数学的工科生还看不起数学；直到今天，数学专业的众多学子也还觉得自己学的东西“没有用”。

欧洲人不那么想，他们早就不那么想了。他们喜欢制订规则，而不是只解决个例，他们死板却有章法。他们很早就崇尚推理的数学，使数学建立在一定的理论根基上，如果理论过不去，即使每一次验证都对，也不能说一定成立。所以，他们建立了体系，在这个体系下，数学开始快速发展。事实证明，这些东西都有用，后来也都用上了。

欧几里得几何是一个公理化体系，20条公理可以分为5组。其中的第五公理（平行公理）备受关注，这是因为：

1. 它和前4组公理不同，第5组只有一条；

2. 它的第一次应用是证明第29定理，此后似乎总在避免使用它。

这个公理可以用容易理解的等价语言描述为：

“过直线外一点，在这点与直线所确定的平面内只能作一条直线与已知直线平行。”

还可以用更加直观地语言描述：

“三角形的内角和等于180°。”

千百年来，许多数学家对此公理的正确性和必要性都产生了怀疑，他们试图用其它的几个公理证明它，但是都没有成功。直到1826年，罗巴切夫斯基在其任教的喀山大学数理系的会议上宣读了一篇与传统几何完全不同的新几何学内容的论文。他在文章提出一个惊人的论断：三角形内角和可以等于180°，也可以小于180°，前者导致欧几里得几何，后者导致一种新的几何。他将这种新的几何称为想象几何或虚幻几何。老罗的谦虚和幽默没有用对地方。试想，连你自己都觉得虚幻的东西能让别人相信吗？它的报告果不其然地遭到了著名学者的嘲笑和攻击。但是他还是在1829年发表了论文《论几何原本》，与后来他发表的5篇论文一起，奠定了新几何学的基础。

事实上，早在1816年，伟大的高斯就得到了这一几何体系的雏形，但是过于谨慎的性格让他隐藏了自己的成果，唯恐被世人嘲笑其“荒诞无稽”。少年成名使高斯背负了很大的压力，导致过于看重自己的名声，他不允许大家对他有哪怕是一时的怀疑，不洒脱！

发现这一几何体系的还有第三个人，匈牙利年轻数学家J. 鲍耶（J. Bolyai），当时他只有21岁。他兴致勃勃地将其寄给他父亲（F. Bolyai）的同学高斯。可以想象当时高斯五味杂陈的心理，想对这个小朋友说“其实叔叔早就发现了”，但又怕有损自己的名声，支持也不是，不支持也不是，只好冷处理。这一冷处理又让世界失去一个优秀的年轻数学家，脆弱的小鲍耶虽然还是活蹦乱跳，但从此放弃了对数学的研究。当然这也不能全怪小鲍耶，在他之前，他的父亲其实很长时间都在证明第五公理，但是都失败了。于是他语重心长地对儿子说：“不要再做克服平行公理的尝试了……它会剥夺掉你生活中的一切时间、健康、休息和幸福”。多么痛的领悟。但小鲍耶当时还是坚持研究，最终超越了父亲，取得了与罗巴切夫斯基同样重大的成就。所以这种新的几何学应该称为“罗巴切夫斯基-鲍耶几何”。

现在已经有了“三角形内角和等于180°”和“三角形内角和小于180°”两个公理带来的两个几何体系，我们不禁要问：有“三角形内角和大于180°”的几何学吗？黎曼大叔告诉你，这个可以有。

“三角形内角和等于180°”等价于“过直线外一点，在这点与直线所确定的平面内有且仅有一条直线与已知直线平行”；

“三角形内角和小于180°”等价于“过直线外一点，在这点与直线所确定的平面内至少有两条直线与已知直线平行”；

“三角形内角和大于180°”等价于“过直线外一点，在这点与直线所确定的平面内没有直线与已知直线平行”。

黎曼基于“三角形内角和大于180°”构建了新的几何体系，所以这种几何毫无争议地被称作黎曼几何。在黎曼发现了新的第五公理之后，虽然觉得挺有意思，但是他也认为这一发现有点荒诞，只把它当作一个游戏而已。其实他错了。早在公元1世纪，数学家和天文学家们就在研究球面上的几何，球面上的三角形内角和就是大于180°的。并且，当他发现新公理60年之后，火急火燎的爱因斯坦对其相见恨晚，心想，娘西皮，好险！差点儿就没有广义相对论了。

黎曼

高斯在“罗巴切夫斯基-鲍耶几何”方面处境尴尬，对“黎曼几何”却有知遇之恩，原因主要是：黎曼是他的学生，你懂的！当时，高斯为黎曼在牛气哄哄的哥廷根大学谋得一个没有编制的讲师职位，黎曼感恩戴德。高老师摆摆手，示意他冷静，不要高兴得太早，想得到这个合同工职位还是需要试讲滴！但是你也不要害怕，因为我，就是面试官之一。黎曼说好的好的，学生明白。按照惯例，试讲人需要准备三个题目，面试官在试讲之前临时抽取一个。黎曼把最不靠谱的“三角形内角和大于180°”放在第三个，因为一般面试官会让抽第一个，很少抽到第三个。坏就坏在高斯看到了这三个题目，大眼一扫，看到第三个，呵，这孩子考虑的这个问题老子已经考虑了60年了，看他能整出什么幺蛾子，讲第三个。这一讲没有给老师丢人，并且在准备了两个月之后，写出一部绝妙的数学经典之作，事后解了爱因斯坦的燃眉之急。

除了这三种纠结的几何之外，还有两种重要的几何：解析几何和微分几何。

解析几何第一次将数和形统一，同时开创了变量数学时代，是数学史上的一次划时代的革命。微分几何则是利用微分方法研究三维欧氏几何中曲线和曲面的内在性质。天色已晚，有空再细谈吧。