树链剖分

现实

现在问你一个问题，假如给你一棵树，求x到y的路径的所有点的权值和。那么，我们可以想象不同的人解这道题的思路是不一样的。
刚入门的选手：Brute Force!暴力水分~
掌握了LCA的选手：先求出x,y的LCA（最近公共祖先）,然后再递归循环求答案。
现在我学会了一个新的办法：树链剖分！
思想：分治思想（将一个路径分成若干个重路径）

定义

我们定义siz[x]表示x的“子孙”（包括x节点）的个数，fa[x]表示x的父亲节点。
重儿子，重边：有一点y，y为x的儿子，且siz[y]是siz[u](u ∈son[x])中最大的一个，则y为x的重儿子，(x,y)为重边。（如果siz[u](u ∈son[x])=max(siz[u](u ∈son[x]))这样的点u有多个，则随便一个儿子为重儿子），其他的儿子均为轻儿子。

算法步骤

步骤一：先用一个dfs求出siz[所有点]
步骤二：再用一个dfs找出每一个非叶子节点的重边。并将这些重边变成重链，再将这些重链压进A数组里。顺便建立一个order数组，order[x]表示点x在a数组里的位置。
步骤三：用数据结构维护树上的信息。（我用的是线段树结构，因为线段树结构对于我来说很好实现，用什么数据结构决定于你）

具体实现过程

步骤一：(伪代码)

Procedure dfs1(x,fa)    fa[x]=fa;    siz[x]=1;    此时向点x所有儿子递归    siz[x]+=siz[u](u∈son[x])

步骤二：设hv[x]表示x的重儿子，top[x]表示x所在的重链的最顶端节点
(伪代码)

Procedure dfs2(x,kk)    top[x]=kk;    order[x]=++a[0];    a[a[0]]=x;    for (u∈son[x])         if siz[u]>siz[hv[x]] hv[x]=u;    if 有重儿子 dfs2(hv[x],kk);    for (u∈son[x])          if u<>hv[x] dfs2(u,u);

最关键的是步骤3.
步骤二完成后，这棵树应该是这样子的：

我们建立一个线段树，如果我们要修改单点的值，那我们直接修改就好了，这很简单。
假设我们要求区间和，那么我们应该这样：
假设我们要求点6至点7的点权和，那么
1.先找出top[6]=1,top[7]=4.此时deep[4]>deep[1]，于是将4-7上的所有点权记入答案。
2.找到fa[4]=1,此时top[6]=fa[4]=1.所以取1-6上所有点权。
下附查找的标。

procedure cz(x,y:longint);var x1,y1:longint;begin    while true do    begin        x1:=top[x];        y1:=top[y];        if (deep[x1]<deep[y1]) then        begin            swap(x,y);            swap(x1,y1);        end;        if x1=y1 then break;        find(1,n,order[x1],order[x],1);        x:=fa[x1];    end;    if order[x]>order[y] then swap(x,y);    find(1,n,order[x],order[y],1);end;

如果是求区间最大值也是一样的步骤。

总结一下

这个算法可以求一棵树的区间值。将一些点连在一起（这些店在一条链上），用线段树大大缩小了求LCA的时间。
——2016.5.13