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来源：互联网发布：淘宝婚庆四件套编辑：程序博客网时间：2024/05/20 23:38

　　我的第一道斜率优化dp。

　　首先，O(n^2)复杂度的dp是很容易想到的。现在我们需要用斜率优化把每次转移的复杂度优化到O(1)。考虑从dp(a)和dp(b)转移到dp(i)，若从dp(a)转移要优，则有dp(a)+(sum(i)-sum(a))^2+M<dp(b)+(sum(i)-sum(b))^2+M，移项得到(dp(a)+sum(a)^2-dp(b)-sum(b)^2)/(2*(sum(a)-sum(b)))<sum(i)。设Y(x)=dp(x)+sum(x)^2，X(x)=2*sum(x)，代入后得到(Y(a)-Y(b))/(X(a)-X(b))<sum(i)，这不就是斜率吗！

　　于是可以得到这样的关系：(Y(a)-Y(b))/(X(a)-X(b))<sum(i) <=> 由a转移较优；(Y(a)-Y(b))/(X(a)-X(b))>sum(i) <=> 由b转移较优。假设有从左到右的a，b，c三个点，如果ab的斜率大于bc的斜率，那么dp(i)一定不会由b转移得到。用一个单调队列去维护递增的斜率（就像凸包一样），就可以迅速完成状态转移。

　　当状态转移的优劣可以用一个形如“斜率”的式子比较的时候，就可以考虑斜率优化了！另外要注意，能不用除法和浮点数的时候，就不要去用。

#include <iostream>    #include <stdio.h>    #include <cmath>    #include <algorithm>    #include <string>  #include <string.h>    #include <memory.h>    #include <vector>    #include <queue>    #include <stack>#include <set>using namespace std;#define ll long long int n,m;ll c[500010];ll sum[500010];ll dp[500010]; const ll INF = 1e18;inline ll getY(int id){    return sum[id]*sum[id] + dp[id];}inline ll getX(int id){    return 2*sum[id];}int que[500010];int main(){    while(cin>>n>>m){        for(int i=1;i<=n;i++){            scanf("%I64d",&c[i]);            sum[i] = sum[i-1] + c[i];        }                int head = 0;        int tail = 0;                que[tail++] = 0;        for(int i=1;i<=n;i++){            while(head+1<tail && (getY(que[head+1])-getY(que[head])) <= sum[i] * (getX(que[head+1])-getX(que[head])) ){                head++;            }                        int j = que[head];            dp[i] = (sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+m+dp[j];                    while(head+1<tail && (getY(que[tail-1])-getY(que[tail-2])) * (getX(i)-getX(que[tail-1])) >=                     (getY(i)-getY(que[tail-1])) * (getX(que[tail-1])-getX(que[tail-2])) ){                tail--;            }            que[tail++] = i;        }        //        for(int i=1;i<=n;i++){//            dp[i] = INF;//            for(int j=0;j<i;j++){//                dp[i] = min(dp[i],(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+m+dp[j]);//            }//        }        cout<<dp[n]<<endl;            }    return 0;}

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