陶哲轩实分析-第4章-整数和比例数

4.1 整数

习题

4.1.1
自反a−b=a−b<=a+b=a+b
对称a−b=a′−b′=>a+b′=a′+b=>a′+b=a+b′=>a′−b′=a−b

4.1.2
a−b=a′−b′=>a+b′=a′+b=>b−a=b′−a′=>−(a−b)=−(a′−b′)

4.1.3
(−1)xa=(0−1)x(a−0)=0xa+1x0−1xa−0x0=0−1xa=0−a=−a

4.1.4 x=a−b,y=c−d,z=e−f

x+y=y+x

x+y=a+c−(b+d)=c+a−(d+b)=y+x

(x+y)+z=x+(y+z)

(x+y)+z=(a+c)−(b+d)+(e−f)=(a+c+e)−(c+d+f)=(a+(c+e))−(b+(d+f))=x+(y+z)

x+0=0+x=x

带入y=0，并且x+0=(a+0)−(b+0)=x

x+(−x)=(−x)+x=0

带入y=-x，并且x+(−x)=(a+b)−(b+a)=0−0=0
剩余略
4.1.5根据引理4.1.5，考虑4种情况a>0 b>0 a<0 b<0 a>0 b<0 a<0 b>0

4.1.6
使用4.1.8证明，证明过程用到很多4.1.6结论。ac=bc =>ac-bc=>(a-b)c=0=>a-b=0=>a=b

4.1.7证明引理4.1.11
(a) =>
a>b=>a=b+m=>a-b=m为正

4.1.8
所有自然数满足，负数不满足的性质P(n)都是这样的例子，例如所有整数都有实平方根，对于自然数显然成立，对于所有负数也显然成立，对于-1不成立，但是0成立，也满足条件假命题=>真命题。

4.2 比例数

4.2.1设x=a//b y=c//d z=e//f
ab=ba => x=x
x=y =>ad=bc=>bc=ad=>y=x
x=y y=z =>ad=bc cf=de=>adcf=bcde=>af=be(推论2.3.7)

4.2.2
对于积，完全类似和的证明
需要证明a//b * c//d =a’//b’ * c//d，也就是ac//bd=a’c/b’d，也就是ab’cd=a’bcd，根据ab’=a’b，证明完成
对于负运算
需要证明-a//b=-a’//b’，也就是(-a)*b’=-a’*b，也就是ab’=a’b，证明完成

4.4.3
根据定义，比较容易，略

4.4.4证明任意比例数x的三歧性
首先证明不可能有多于一个命题同时成立，如果是正的比例数则根据定义x=a/b，a和b都为正，不为0，负的同样，如果同时为正和负则x=-x，则x=0，矛盾。考虑x=a/b各种情况，a为正、0，负，b为正、负，无论哪种组合，x必定为三种情况之一，证明完毕。

4.4.5
(a)x-y为比例数，根据比例数的三歧性得证
其余大部分可以根据命题4.2.4性质得证
(e) x < y，也就是存在m>0，x+m=y，

ab+hj=cd

，则

aebf+hejf=cedf

，所以xz < yz。

4.4.6
证明过程类似命题4.2.9(e)的证明

4.3 绝对值与指数运算

习题

4.3.1
(a) |x|≥0，分3种情况讨论
(b)|x+y|≤|x|+|y|，符号相同相等，考虑a>0，b<0，再分a>-b和a<-b。
(c)−y≤x≤y则y≥0，x分3种情况，x=0则显然成立，x>0则|x|=x≤y，x<0则|x|=−x<=y
(d)分3种情况讨论可能是最简单的
(e)d(x,y)=|x-y|，对x-y分3种情况讨论
(f)根据(b)推出

4.3.2
(a)=>显然，<=用反证法
(b)根据命题4.3.3(f)
(c)根据命题4.3.3(b)
(d)d(x,y)≤ε d(z,w)≤δ，则d(x+z,y+w)≤d(x+z,x+w)+d(x+w,y+w)≤ε+δ
(e)d(x,y)≤ε≤ε′
(f)分3种情况w > x和w=x和w < x
(g)d(xz,yz)=|xz−yz|=|x−y||z|≤ε|z|
(h)|xz−yw|=|xz−xw+xw−yw|≤|x||z−w|+|w||x−y|≤|x||z−w|+(|z|+δ)|x−y|≤ε|z|+δ|x|+εδ

4.3.3
(a)
xnxm=xn+m固定n，对m归纳
(xn)m固定n，对m归纳，m=0显然。考虑m+1，(xn)m+1=xnm×xn=xnm+n=xn(m+1)

(xy)n=xnyn

n=0显然成立，假定n成立，(xy)n+1=(xy)n×(xy)=xnynxy=xn+1yn+1
(b)
=>
反证法，如果x不等于0，可以归纳证明xn不等于0
<=
归纳证明
(c)归纳证明
(d)n=0显然，归纳假设n成立，|xn+1|=|xn||x|=|x|n|x|=|x|n+1

4.3.4考虑n=a-b，m=c-d，运用命题4.3.10可以相应证明

4.3.5
N=1，2>1
归纳假设n成立，2n>n，则2n+1=2n+2n>2n+1>n+1

4.4 比例数中的空隙

命题4.4.5是看到现在第一个看着费劲的东西，第一次看没明白为什么ε2<2能推出（2ε）2<2并能根据归纳法推出对所有n成立。事实上，只需要在式子(x+ε)2<2中用ε替换x即可得到结果。

习题

4.4.1设x=a/b，首先考虑x为正数，也就是a>0且b>0。则根据命题2.3.9，存在m、r满足a=mb+r，0≤r<b，显然a/b=m+r/b，r/b<1，这里m就是x的整部。对于x为0，显然成立，对于x为负数，则存在正数y使得x=-y=-(mb+r)=-(m+1)b+(b-r)，这里-(m+1)就是所求整数。
证明第二个结论，对于比例数x=a/b，存在N>x，仅考虑x为正数，这样有a>0，b≥1，显然有N=a=ab/b>=a/b

4.4.2
(a)假设a0,a1,a2...递减，则a1≤a0−1，a2≤a0−2，…，aa0≤a0−a0=0，序列没法继续下去。
提示的原理也类似，但是感觉更绕一点，首先证明对于任意n都有an>0，否则an+1=0并且序列结束。可以对k归纳，证明对于任意n，都有an>k，由于k可以任意大，而a0是自然数，所以存在k，a0<k，矛盾。
(b)整数代替自然数，无限减小可以，0,−1,−2,...
正比例数也可以，考虑1/2,1/3,1/4,...

4.4.3
为什么自然数不能既是奇的也是偶的
因为如果p=2k=2j+1，则2(k-j)=1，k-j为整数，矛盾。
为什么p奇则p2奇
因为p=2k+1，p2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1
事实上别的地方证明都是假定p和q没有公约数，这里证明已经完成了，因为已经得出了p和q都是偶数，矛盾。
为什么p2=2q2=>q<p
因为p2=q2+q2，而q2>0，所以p2>q2，所以p>q