72. Edit Distance 动态规划dp

Given two words word1 and word2, find the minimum number of steps required to convertword1 to word2. (each operation is counted as 1 step.)

You have the following 3 operations permitted on a word:

a) Insert a character
b) Delete a character
c) Replace a character

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分析：

由于此题是dp问题的经典问题，因此决定翻译一份详尽的解析：

https://leetcode.com/discuss/43398/20ms-detailed-explained-c-solutions-o-n-space

此题是动态规划的经典问题。定义dp[i][j]表示将word1[0,,,i-1]转换为word2[0,,j-1]所需要的最少操作。状态转移方程有两种情况，边界问题以及一般情况。注意i,j都是从1开始。

边界条件：

很显然，将word1[0,,,i-1]转换为“”所需要至少i不操作。实际上，边界条件如下：

1、 dp[i][0]=i；

2、dp[0][j]=j；

下面我们将讨论一般情况，将一个非空word1[0,,i-1]转为另一个非空word2[0,,j-1]。下面我们将这个问题转为更小问题。假定我们知道如何将word1[0,,i-2]转换为word2[0,,j-2]至少需要dp[i-1][j-1]，下面将考虑word1[i-1]与word2[j-1]。如果相等，不需要更多操作，因此dp[i][j]=dp[i-1][j-1]。如果不相等呢：

我们需要考虑三种情况；

1)将word1[i-1]转为word2[j-1](dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1);

2)删除word1[i-1]，且 word1[0,,i-2]=word[0,,j-1] (dp[i][j]=dp[i-1][j]+1;

3)插入word2[j-1]如word1[0,,i-1]且word1[0,,i-1]+word2[j-1]=word2[0,,j-1](dp[i][j]=dp[i][j-1]+1）

需要注意到，删除我们将word1[0,,i-1]与word2[0,,j-1]问题转换为word[0,,i-2]与word2[0,,j-1],则为dp[i-1][j]+1;

对于插入，有相同的方法。

代码如下：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        if(word1.size()==0||word2.size()==0) return word1.size()?word1.size():word2.size();
        unsigned m=word1.size();
        unsigned n=word2.size();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,0));
        for(int i=1;i<=m;++i) dp[i][0]=i;
        for(int j=1;j<=n;++j) dp[0][j]=j;
        for(int i=1;i<=m;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            if(word1[i-1]==word2[j-1]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
            else
            {
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]))+1;
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};