树链剖分求LCA(最近公共祖先)

LCA(Lowest Common Ancestor 最近公共祖先)定义如下：在一棵树中两个节点的LCA为这两个节点所有的公共祖先中深度最大的节点。

如图，节点11与节点6的LCA为节点4，节点12与节点1的LCA为8，节点11与节点10的LCA为10。
现在我们来了解一下LCA我认为最好的算法：树链剖分。
我们来看一个对话：
A：我考你一个问题：给你一个100000节点的树，问你两个点的LCA，你会怎么求？
B：很简单啊，要求a，b的LCA，只要每次把a，b中深度较大的一个往根走，直到a，b相遇。
A：如果有100000个询问呢？
B：没关系，每个询问很快。如果是完全二叉树，树的深度是log_2 100000的，实际的树叉更多，所以深度更小，很容易就跑出来了。
A：假如树是一条链呢？
B：……好像会超时。不过，一条链还用得着求LCA吗？取深度较小的点就行了。
A：如果长这样呢：
　　/\
　/　　\
/ 　　　 \
B：那就把没有分支的链合并成一条，这样就简单了。
A：如果长这样呢：
　　/\
　/\
/\
B：好吧……还是不行。
树链剖分就是一类解决树上路径问题的方法。对于随机生成的树，树高较小，用暴力法就够了，但对于一些树高较大的情况，暴力法便无法处理。这时我们可以将树分成若干条重链，把每条链看成一个整体，以优化算法。
比如，对于以下的树，假如两条加粗的路径AA’，BB’为重链，则求A、B的LCA时，只需取链顶深度较大的B’并将B跳到B’的父节点C，C在链AA’上，于是就能很快得到A、B的LCA为C，而不需要一次次往上寻找。

然而如果链选得不正确，则没有什么好的效果，比如这样：

这时候A先走到上面的一条重链，B再走到上面的一条重链，最后A往上走，才能找到LCA。
可见，链的选取很重要。
如何选取重链呢？一种简单的方法是：取每个节点u的所有子节点中，子树最大的子节点v，然后将边(u,v)作为重边，其余边作为轻边，重边构成的链就是重链。
这样的话，任意一条从根到某节点的路径，每遇到一条轻边，子树大小就会减半，因此可以保证经过的重链条数不超过O(logn)。
这就是树链剖分基本思想。

好了看完之后，我想你们大概了解了LCA的树链剖分的基本思路，那我们开始写了。
写法是两遍深搜，第一遍建树，第二遍构造重链。
这是我的代码
用来求根为1的一棵树的LCA。

#include <cstdio>#include <cstdlib>#define maxm 200010struct edge{int to,len,next;}E[maxm];int cnt,last[maxm],fa[maxm],top[maxm],deep[maxm],siz[maxm],son[maxm],val[maxm];void addedge(int a,int b,int len=0){    E[++cnt]=(edge){b,len,last[a]},last[a]=cnt;}void dfs1(int x){    deep[x]=deep[fa[x]]+1;siz[x]=1;    for(int i=last[x];i;i=E[i].next)    {        int to=E[i].to;        if(fa[x]!=to&&!fa[to]){            val[to]=E[i].len;            fa[to]=x;            dfs1(to);            siz[x]+=siz[to];            if(siz[son[x]]<siz[to])son[x]=to;        }    }}void dfs2(int x){    if(x==son[fa[x]])top[x]=top[fa[x]];    else top[x]=x;    for(int i=last[x];i;i=E[i].next)if(fa[E[i].to]==x)dfs2(E[i].to);}void init(int root){dfs1(root),dfs2(root);}int query(int x,int y){    for(;top[x]!=top[y];deep[top[x]]>deep[top[y]]?x=fa[top[x]]:y=fa[top[y]]);    return deep[x]<deep[y]?x:y;}int n,m,x,y,v;int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<n;i++)    {        scanf("%d%d",&x,&y);addedge(x,y,v);addedge(y,x,v);    }    init(1);    for(int i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%d%d",&x,&y);        printf("%d\n",query(x,y));    }    return 0 ;}

这就是LCA了，读者们，你们听懂了吗？