机器学习-支持向量机SVM学习笔记一

支持向量（support vector)就是离分割超平面最近的点。而支持向量的学习就是求解最大化支持向量到分割面的距离的问题。

首先确定 n 维的数据空间中的超平面方程： w^Tx + b = 0 其中x是数据点。如下图所示：

两种颜色的点分别代表两个类别，红颜色的线表示一个可行的超平面。在进行分类的时候，我们将数据点x

代入 f(x) 中，如果得到的结果小于 0 ，则赋予其类别 -1 ，如果大于 0 则赋予类别 1 。事实上，对于 f(x) 的绝对值很小的情况，我们都很难处理，因为细微的变动（比如超平面稍微转一个小角度）就有可能导致结果类别的改变。理想情况下，我们希望 f(x) 的值都是很大的正数或者很小的负数，这样我们就能更加确信它是属于其中某一类别的。

从几何直观上来说，由于超平面是用于分隔两类数据的，越接近超平面的点越“难”分隔，因为如果超平面稍微转动一下，它们就有可能跑到另一边去。反之，如果是距离超平面很远的点，例如图中的右上角或者左下角的点，则很容易分辩出其类别。

定义数据点到分割超平面的函数距离为：，之所以乘上类别y是为了确保距离的非负性，因为当w^Tx + b<0时，y=-1,两者之积为正。现在定义几何距离：如图所示：

对于一个点 x ，令其垂直投影到超平面上的对应的为 x0 ，由于 w 是垂直于超平面的一个向量（请自行验证），我们有，因为点x0在超平面上将点x0代入超平面解得 ，同样为了去除符号，我们定义几何距离也乘上y，几何距离为：

，我们的目标则是求maxγ˜，然




maxγ˜

然而，即使在超平面固定的情况下，几何距离同时和两个变量r和w有关，因此，在求解最大值的时候固定其中一个变量，为了方便推导和优化我们固定r的值为1，因此目标函数转化为：

因此，下面的重点就是如何求解这个多约束问题了