体验数学之美——泛函

数学其实是很美的，只不过隐藏在巨多抽象的定义之中。有时候会觉得数学家们也很不容易，一定要把非常直观的、一句话就能理解的东西说成天衣无缝的数学语言，在这种转换之后，很多非数学专业的人就看不懂了，我就只其中之一，所以现在开始写博客，争取把抽象的数学语言转变成为一般人能够理解的语言吧。同时也记录一些数学的学习过程。加油。
目前正在学习凸优化（Convex Optimization），其中的很多知识点是比较数学专业的。在学习的过程当中，用到了数学分析、高等代数学、矩阵分析和实变函数与泛函分析等教材中的知识，下面我就来一一叙述。
一. 泛函
泛函理论是矩阵分析的基础，度量向量之间的距离、求极限等都会用到范数，还在机器学习、模式识别等领域有广泛的应用。是用几何方法来描述数学。范数就是把一个事物映射到非负的实数上。
范数分为向量范数和矩阵范数。
1 矩阵范数
归根结底是一种线性映射，我们在线性代数上研究最多的就是两个问题，一个是Ax=0，另一个是Ax=b。矩阵的范数就是线性映射把向量x映射为Ax=b时，向量的长度缩放的比例。
2 矩阵的算子范数
矩阵对向量缩放比例的上界。

∥A∥v=max∥X∥v=1∥AX∥v

矩阵的算子范数>=矩阵谱半径，矩阵的算子范数>=矩阵的最大奇异值