ACM: 动态规划题 poj 1192 树形DP

最优连通子集

Description

众所周知，我们可以通过直角坐标系把平面上的任何一个点P用一个有序数对(x, y)来唯一表示，如果x,y都是整数，我们就把点P称为整点，否则点P称为非整点。我们把平面上所有整点构成的集合记为W。
定义1 两个整点P1(x1, y1), P2(x2, y2)，若|x1-x2| + |y1-y2| = 1，则称P1,P2相邻，记作P1~P2，否则称P1, P2不相邻。
定义 2 设点集S是W的一个有限子集，即S = {P1, P2,..., Pn}(n >=1)，其中Pi(1 <= i <=n)属于W，我们把S称为整点集。
定义 3 设S是一个整点集，若点R, T属于S，且存在一个有限的点序列Q1, Q2, ?, Qk满足:
1. Qi属于S（1 <= i <= k）;
2. Q1 = R, Qk = T;
3. Qi~Qi + 1(1 <= i <= k-1)，即Qi与Qi +1相邻;
4. 对于任何1 <= i < j <=k有Qi ≠ Qj;
我们则称点R与点T在整点集S上连通，把点序列Q1, Q2,..., Qk称为整点集S中连接点R与点T的一条道路。
定义4 若整点集V满足：对于V中的任何两个整点，V中有且仅有一条连接这两点的道路，则V称为单整点集。
定义5对于平面上的每一个整点，我们可以赋予它一个整数，作为该点的权，于是我们把一个整点集中所有点的权的总和称为该整点集的权和。
我们希望对于给定的一个单整点集V，求出一个V的最优连通子集B，满足：
1. B是V的子集
2. 对于B中的任何两个整点，在B中连通；
3. B是满足条件(1)和(2)的所有整点集中权和最大的。

Input

第1行是一个整数N（2 <= N<= 1000），表示单整点集V中点的个数；
以下N行中，第i行(1 <= i <= N)有三个整数，Xi, Yi,Ci依次表示第i个点的横坐标，纵坐标和权。同一行相邻两数之间用一个空格分隔。-10^6 <= Xi,Yi <= 10^6；-100 <= Ci<= 100。

Output

仅一个整数，表示所求最优连通集的权和。

Sample Input

5
0 0 -2
0 1 1
1 0 1
0 -1 1
-1 0 1

Sample Output

2

 

题意: 题目给出定义坐标轴中, 相邻定义: 点(x1,y1), (x2,y2)相邻条件满足:|x1-x2|+|y1-y2|=1

     并且每个点有一个权值W, 现在要你求出一个连通子集的权值最大.

 

解题思路:

      1.坐标轴转换成树形结构, 相邻的节点可以形成父子节点关系.

        因此可以设:dp[i][j]表示以i为子树根时, j=0/1表示树不包含/包含树根i的最大权值和.

        状态方程: dp[i][0] = max(dp[v][0], dp[v][1]);

                  因为不包含树根, 所有只取最大的子树.

                   dp[i][1]= p[i].W + ∑dp[v][1]; (dp[v][1]>0);

                  因为包含树根, 所有可以累加那些大于0的子树.

     2. 方法依然是自底向上递推.

 

代码:

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAX 1005

struct node
{
 int v;
 int next;
}edges[MAX*2];

struct point
{
 int x, y, w;
}p[MAX];

int n;
int first[MAX], num;
int dp[MAX][2];
bool vis[MAX];

inline int my_abs(int a)
{
 return a > 0 ? a : (-a);
}

inline int max(int a, int b)
{
 return a > b ? a : b;
}

inline void add(int u, int v)
{
 edges[num].v = v;
 edges[num].next = first[u];
 first[u] = num++;
}

void read_graph()
{
 memset(first, -1, sizeof(first));
 memset(vis, false, sizeof(vis));
 num = 0;
 int i, j;
 for(i = 1; i <= n; ++i)
  scanf("%d %d%d",&p[i].x, &p[i].y,&p[i].w);

 for(i = 1; i <= n; ++i)
 {
  for(j = i+1; j<= n; ++j)
  {
   if(my_abs(p[i].x-p[j].x)+my_abs(p[i].y-p[j].y) == 1 )
   {
    add(i,j);
    add(j,i);
   }
  }
 }
}

void dfs(int u)
{
 vis[u] = true;
 dp[u][0] = 0;
 dp[u][1] = p[u].w;
 for(int e = first[u]; e != -1; e =edges[e].next)
 {
  int v = edges[e].v;
  if( !vis[v] )
  {
   dfs(v);
   dp[u][0] =max(dp[u][0], max(dp[v][1], dp[v][0]));
   if(dp[v][1]> 0) dp[u][1] += dp[v][1];
  }
 }
}

int main()
{
// freopen("input.txt", "r", stdin);
 while(scanf("%d", &n) !=EOF)
 {
  read_graph();
  dfs(1);

  int result = max(dp[1][0],dp[1][1]);
  printf("%d\n", result);
 }
 return 0;
}