GDOI 2016 Day1 第一题 中学生数学题 解题报告

题目大意

给出三个数n0（n0>0且为整数）、p0和k。
第一问：
满足n=⌊n0−kp⌋，问n*(p-p0)的最大值。（n为正整数）
第二问：
满足n1=⌊n0−kp1⌋，n2=⌊n0−kp2⌋−n1(p1>p2)，求n1 * (p1-p0)+ n2*(p2-p0)的最大值。
（n1和n2均为正整数）

输入格式

一行，三个数，n0、p0和k。

输出格式

一行两个小数，中间用空格隔开，各保留三位小数。

样例输入

样例1

4 1 1

样例2

4 0 1

样例输出

样例1

2.000 3.000

样例2

4.000 5.000

数据范围

第一问

第一问，很简单。
对于一个值固定的n，可以推算出p的最大值为n0−nk，这样的话我们就可以直接枚举n，求出对应的p，统计最大值即可。
现在讲一下O(1)的算法。
数形结合。
化成一次函数图像大概是这个样子。

横轴是n，纵轴是p。
不难发现，棕色阴影部分的面积就等于(n0−nk-p0)*n。
所以现在问题变成了，选一个n，使得棕色阴影部分面积最大。

易证，要使面积最大，E点肯定是选在线段CD的中点，此时面积等于三角形P0CD的一半。

此时点E′即为线段CD的中点，绿色面积即为最大阴影面积。
求E′点对应横坐标n即可，n可能不是整数，因此要取它最靠近的两个整数对应的答案的最大值。

第一个问就解决了。

第二问

第二问，在枚举n1的基础上，可以发现n2*(n0−n2k-p)的值呈一个单峰二次函数图像，可以用三分枚举最优的n2，统计最大值即可。
接下来我们还是讲一下O(1)的算法。
依旧是数形结合。
依然是一个函数图像。
呵呵。
估计你会晕。

第二问的答案为(n0−n1k-p0)* n1+(n0−n2k-p0)*n2，也就是黄色的面积加上紫色的面积。
如何让面积和最大化呢？
一个的时候取线段CD的中点，那么两个的时候，便取线段CD的三等分点，此时面积和最大。（至于证明吗，呵呵我不会）
如图，点E′和点E′′为线段CD的三等分点。
这时我们只需找到对应的n1和n2，将n1和n2化成整数，就可以直接求出最佳答案了。