[致敬陈景润]几个基础数论问题证明

今天是著名的数学家陈景润的诞辰，大概从小学就知道他了。我想，在社会日益浮躁的今天，我们需要这样一个能够静心思考的大师。这也是我一直的目标，不求光鲜，但求发光发热。在这里弱渣给出几个数论基础问题的证明，致敬我的偶像。

最大公约数性质证明

定理1：如果任意整数a,b都不为0，则gcd(a,b)是a,b的线性组合集\{ax+by: x,y \in Z}\ 中的最小正元素。
证明:设S为a,b线性组合集中最小的正元素。有：

s=ax+by

amods=a−qs=a−q(ax+by)=a(1−qx)+b(−qy)

我们发现amods 也是a,b的一个正数线性组合，则可以知道0≤amods≤s, 则知道amods=0, 所以可以知道s为a,b的公约数。则最大公约数一定不会小于s,并且为a,b的一个线性组合。所以我们可以得到下面的结果gcd(a,b) | s, 所以我们证明出了gcd(a,b) = s.

素数集无限性证明

使用反证法来证明，假设素数集是有限的，则我们假设其元素的个数为n.考虑下面的数字。

a=p0p1....pn+1

我们知道任何一个数字都有其唯一的素数分解。但是素数是不能够再次分解的。所以前面的素数连乘是没有其他的素数分解式的。这就证出a为一个素数。由此递推，素数集一定是无限的。

欧几里得算法的运行上界

定理: 如果a>b>0且欧几里德算法执行了k次递归调用，那么我们可以得到a≥Fk+2,b≥Fk+1(F[]为非波那契数列)
我们使用数学归纳法来证明这个问题:
当k=1,2时检查一下，显然成立。
k = n时，设b≥Fk+1,amodb≥Fk则
k = n+1时，a≥a+amodb=Fk+2
在这里我们不仅发现古老的欧几里德算法和斐波那契数列之间惊人的联系。也间接发现了欧几里德算法不是一个多项式时间的算法。

欧拉定理

欧拉定理的内容：对于任意的整数n>1,有aϕ(n)=1(modn)
说明下，ϕ(n)为欧拉函数。a在模n的乘法群中。
我们任取这个群中的一个数，那么由于这个数与n互质。则有下面的线性组合存在:

ax+nb=1

我们可以知道下面的结论，由a生成的群是原来的群的一个子群。而这个生成子群的阶数为k的话，就有ak=1(modn)而通过拉格朗日定理，我们可以得到k|ϕ(n)
据此我们就证明出了欧拉定理。
更进一步的，我们知道了当一个数是素数的时候，他的欧拉函数有ϕ=p−1, 所以我们就得到了一个新的结论，费马小定理。

结语

只是写了这么点小东西，就感觉好累啊。总之要再次向我的偶像致敬。我会好好的继续认真的学习数学的。