数组的基础知识

数组的定义：

        数组是由一组类型相同的数据元素构成的有序集合，每个数据元素称为一个数组元素（简称为元素），每个元素受n(n≥1)个线性关系的约束，每个元素在n个线性关系中的序号i1、i2、…、in称为该元素的下标，并称该数组为 n 维数组。 

数组的特点：

        元素本身可以具有某种结构，属于同一数据类型； 数组是一个具有固定格式和数量的数据集合。

二维数组的定义：

基本操作：

InitArray (&A, n, bound1, ..., boundn)

操作结果：若维数 n 和各维长度合法，则构造相应的数组A，并返回OK。 

DestroyArray(&A)

操作结果：销毁数组A。

Value(A, &e, index1, ..., indexn)

初始条件：A是n维数组，e为元素变量，随后是n 个下标值。   

操作结果：若各下标不超界，则e赋值为所指定的A的元素值，并返回OK。

Assign(&A, e, index1, ..., indexn)

初始条件：A是n维数组，e为元素变量，随后是n 个下标值。

操作结果：若下标不超界，则将e的值赋给所指定的A的元素，并返回OK。 

数组的基本操作：

⑴ 存取：给定一组下标，存储或读出对应的数组元素； 

⑵ 修改：给定一组下标，修改与其相对应的数组元素。 

存取和修改操作本质上只对应一种操作——寻址 

数组一般没有插入和删除操作，所以，一般不用预留空间，适合采用顺序存储。 

数组的顺序表示和实现

类型特点: 1) 只有引用型操作，没有加工型操作; 2) 数组是多维的结构，而存储空间是一个一维的结构。

有两种顺序映象的方式: 1)以行序为主序(低下标优先); 2)以列序为主序(高下标优先);

设一维数组的下标的范围为闭区间［l，h］，每个数组元素占用 c 个存储单元，则其任一元素 ai 的存储地址可由下式确定：  Loc(ai)＝Loc(al) ＋ (i－l)×c 

数组的顺序表示和实现—二维

常用的映射方法有两种： 

        按行优先：先行后列，先存储行号较小的元素，行号相同者先存储列号较小的元素。  

        按列优先：先列后行，先存储列号较小的元素，列号相同者先存储行号较小的元素。

按列优先存储的寻址方法与此类似。

数组的顺序表示和实现—N维

练习：

矩阵的压缩存储 

1. 什么是压缩存储？

        若多个数据元素的值都相同，则只分配一个元素值的存储空间，且零元素不占存储空间。 

2. 什么样的矩阵具备压缩条件？       

        特殊矩阵（对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵） 和稀疏矩阵。 

特殊矩阵和稀疏矩阵

特殊矩阵：矩阵中很多值相同的元素并且它们的分布有一定的规律。 

稀疏矩阵 : 矩阵中非零元素的个数较少（一般小于5%） 

压缩存储的基本思想是： 

⑴ 为多个值相同的元素只分配一个存储空间； 

⑵ 对零元素不分配存储空间。

特殊矩阵的压缩存储—对称矩阵

如何压缩存储？

只存储下三角部分的元素。

特殊矩阵的压缩存储—对角矩阵  

        对角矩阵：所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，除了主对角线和它的上下方若干条对角线的元素外，所有其他元素都为零。

问题： 

        如果只存储稀疏矩阵中的非零元素，那这些元素的位置信息该如何表示？ 

        解决思路： 对每个非零元素增开若干存储单元，例如存放其所在的行号和列号，便可准确反映该元素所在位置。 

        实现方法： 将每个非零元素用一个三元组（i，j，aij）来表示，则每个稀疏矩阵可用一个三元组表来表示。

将稀疏矩阵中的每个非零元素表示为： (行号，列号，非零元素值)——三元组

三元组表：将稀疏矩阵的非零元素对应的三元组所构成的集合，按行优先的顺序排列成一个线性表。

稀疏矩阵的转置操作

（1）每个元素的行下标和列下标互换（即三元组中的i和j互换）； 

（2）T的总行数mu和总列数nu与M的不同（互换）；         

（3）重排三元组内元素顺序，使转置后的三元组也按行（或列）为主序有规律的排列。 

上述（1）（2）较好实现，那应该如何实现（3）呢

方法Ⅰ 压缩转置

基本思想：

        直接取，顺序存。即在A的三元组顺序表中依次找第1列、第2列、…直到最后一列的三元组，并将找到的每个三元组的行、列交换后顺序存储到B的三元组顺序表中。

算法Ⅰ 压缩转置——伪代码

1. 设置转置后矩阵B的行数、列数和非零元个数； 

2. 在B中设置初始存储位置pb； 

3. for (col=最小列号; col<=最大列号; col++)     

        3.1 在A中查找列号为col的三元组；     

        3.2 交换其行号和列号，存入B中pb位置；     

        3.3 pb++；

算法Ⅱ 快速转置

        基本思想：顺序取，直接存。即在A中依次取三元组，交换其行号和列号放到B 中适当位置。

如何确定当前从A中取出的三元组在B中的位置？

        分析：A中第1列的第一个非零元素一定存储在B中行下标为1的位置上，该列中其它非零元素应存放在B中后面连续的位置上，那么A中第2列的第一个非零元素在B中的位置便等于A中第1列的第一个非零元素在B中的位置加上A中第1列的非零元素的个数，以此类推。 

数据结构设计：

引入两个数组作为辅助数据结构： 

        num[nu]：存储矩阵A中某列的非零元素的个数； 

        cpot[nu]：初值表示矩阵A中某列的第一个非零元素在B中的位置。

设计思路：

        如果能预知M矩阵每一列(即T的每一行)的非零元素个数，又能预知第一个非零元素在b.data中的位置,则扫描a.data时便可以将每个元素准确定位（因为已知若干参考点）。

        请注意a.data特征：每列首个非零元素必定先被扫描到。

技巧：

        利用带辅助向量的三元组表，它正好携带每行（或列）的非零元素个数 NUM(i)以及每行（或列）的第一个非零元素在三元组表中的位置POS(i) 等信息。

快速转置——伪代码：

        1. 设置转置后矩阵B的行数、列数和非零元素的个数； 

        2. 计算A中每一列的非零元素个数； 

        3. 计算A中每一列的第一个非零元素在B中的下标； 

        4. 依次取A中的每一个非零元素对应的三元组；     

                4.1 确定该元素在B中的下标pb；     

                4.2 将该元素的行号列号交换后存入B中pb的位置；     

                4.3 预置该元素所在列的下一个元素的存放位置；

快速转置算法的效率分析：

        1. 与常规算法相比，附加了生成辅助向量表的工作。增开了2个长度为列长的数组(num[ ]和cpos[ ]）。 

2. 从时间上，此算法用了4个并列的单循环，而且其中前3个单循环都是用来产生辅助向量表的。        

        for(col = 1; col <=M.nu; col++)  循环次数＝nu;          

        for( i = 1; i <=M.tu; i ++)            循环次数＝tu;         

        for(col = 2; col <=M.nu; col++)  循环次数＝nu;        

        for( p =1; p <=M.tu ; p ++ )       循环次数＝tu;  

该算法的时间复杂度＝(nu*2)+(tu*2)=O (nu+tu） 

讨论：最恶劣情况是tu=nu*mu(即矩阵中全部是非零元素）， 而此时的时间复杂度也只是O(mu*nu)，并未超过传统转置算法的时间复杂度。