最长公共子序列 动态规划

子序列
X=(A,B,C,B,D,B)
W=(B,D,A)是X的子序列？NO
Z=(B,C,D,B)是X的子序列？YES

公共子序列
Z是序列X与Y的公共子序列如果Z是X的子序列也是Y的子序列

最长公共子序列
输入：X=(x1,x2,.....,xm),Y=(y1,y2,...,yn)
输出：X与Y的最长公共子序列Z=(z1,z2,....,zk)

最长公共子序列结构分析
第i前缀
设X=(x1,x2,.....xn)是一个序列
Xi=(x1,.....,xi)是X的第i前缀

例：X=(A,B,D,C,A),X1=(A),X2=(A,B),X3=(A,B,D)

优化子结构的猜想
设X和Y的LCS为LCSXY=(z1,....,zk)
if xm=yn
LCSXY=LCSXm−1Yn−1+<xm=yn>
if xm≠ym,zk≠xm
LCSXY=LCSXm−1Yn
if xm≠ym,zk≠yn
LCSXY=LCSXmYn−1

LCSXY=max{LCSXm−1Yn,LCSXmYn−1}

优化子结构的证明
思路：对于LCS问题，把最优解分解成两部分，且保证子问题无关性，对两部分分别用反正法，即假定两个子问题的最优解不是最优的，通过“剪切粘贴”构造另一个子最优解，把构建后的子最优解粘贴到原问题中，得出矛盾。

情况一：X=<x1,....,xm−1>,Y=<y1,......,yn−1,xm>，则zk=xm=yn且LCSXY=LCSXm−1Yn−1+<xm=yn>

证明 设Z=Zk−1+Zk是X和Y的一个最长公共子序列。
若zk≠xm可加xm=yn到Z，得到一个长为k+1的X与Y的公共序列，与Z是最长公共子序列LCS矛盾，于是，zk=xm=yn,
若Zk−1≠LCSXm−1Yn−1
存在Xm−1和Yn−1的公共子序列Z’,|Z′|>|Zk−1|。
于是|Z′+<xm=yn>|>|LCSXY=Zk−1+<xm=yn>|
与LCSXY是LCS矛盾。

情况二和情况三证明略。

子问题重叠性
LCSXm−1Yn−1的子问题LCSXm−2Yn−2
LCSXm−1Yn的子问题LCSXm−2Yn−2

建立LCS长度的递归方程
C[i,j]=Xi与Yj的LCS的长度
LCS长度的递归方程

C[i,j]=0 if i=0或j=0
C[i,j]=C[i−1,j−1]+1 if i,j>0 and xi=yj
C[i,j]=Max{C[i−1,j],C[i,j−1]} if i,j>0 and xi≠yj

自底向上计算优化解代价
C[0,0] C[0,1] C[0,2] C[0,3] C[0,4]
C[1,0] C[1,1] C[1,2] C[1,3] C[1,4]
C[2,0] C[2,1] C[2,2] C[2,3] C[2,4]
C[3,0] C[3,1] C[3,2] C[3,3] C[3,4]

如果想要计算C[3,4]，需要先计算
C[2,3] C[2,4]
C[3,3]

如果要计算C[2,3]，需要计算
C[1,2] C[1,3]
C[2,2]

如果要计算C[3,3] ，需要计算
C[2,2] C[2,3]
C[3,2]

……..所以最先要计算的是
C[0,0] C[0,1] C[0,2] C[0,3] C[0,4]
C[1,0]
C[2,0]
C[3,0]

之后根据递归公式逐行计算
C[0,0] C[0,1] C[0,2] C[0,3] C[0,4]
C[1,0] C[1,1]C[1,2]C[1,3]C[1,4]↓
C[2,0] C[2,1]C[2,2]C[2,3]C[2,4]↓
C[3,0] C[3,1]C[3,2]C[3,3]C[3,4]

计算LCS长度的算法
数据结构：
C[0:m,0:n]:C[i,j]记录Xi与Yj的LCS的长度
C[1:m,1:n]:B[i,j]记录优化解的信息

构造最优解
从B[m,n]开始按指针搜索
若B[i,j]="↖",则xi=yj是LCS的一个元素
如此找到的LCS是X与Y的LCS的Inverse