动态规划之最大子段和问题

问题描述：

最大子段和问题是将一个n个整数的序列a[1]，a[2]….a[n]中字段a[first]….a[last]之和，(1<=first<=last<=n)求这些子段和中最大的。
例如（a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6]）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20，子段为a[2],a[3],a[4]。

求解方法：

如果不会算法，那就用时间复杂度为O(n^3)的枚举，i为从1到n的起点，j为从i到n的终点，k为从i到j的子段之和。
还是枚举，改进一下，得到O(n^2)的枚举算法，就是将k去掉，在找其终点j的时候就将子段和记录下来，因为从i到j的子段和就是从i到j-1的子段和加上a[j]。
再改进一下，将这个序列分成1到(1+n)/2的序列与(1+n)/2到n的序列。那么最大的子段有可能出现在：
1.左侧序列。2.右侧序列。3.跨越中间点的序列。
我们从中间点两侧找最大子段，再找越过中间点的最大子段，就形成了我们所说的分治算法，得到复杂度为O(nlogn)的算法。
其实，我们在选择一个元素a[j]的时候，只有两种情况，将a[i]至a[j-1]加上，或者从a[j]以j为起点开始。我们用一个数组dp[i]表示以i为结束的最大子段和，对于每一个a[i]，加上dp[i-1]成为子段，或以a[i]开始成为新段的起点。因为我们只需要记录dp值，所以复杂度是O(n)。
这就是最大子段和的动态规划算法。
我们甚至不需要dp数组，只需要定义一个dp变量，因为最后要求的dp值也是最大的，所以我们可以在求dp的时候更新为最大的。

代码如下：

51nod1049 标准题

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>using namespace std;int main(){    int n;    long long a[50005];    //long long dp[50005];    while(scanf("%d",&n)!=-1)    {        for(int i=0; i<n; i++)        {            scanf("%lld",&a[i]);        }        //memset(dp,0,sizeof(dp));        long long  ans=0,dp=0;        for (int i=0; i<n; i++)        {            if(dp>0)                dp+=a[i];            else                dp=a[i];            if(dp>ans)                ans=dp;        }        cout<<ans<<endl;    }    return 0;}

hdu 1003 要求起点和终点的最大子段和问题
采用dp数组寻找起点终点

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>using namespace std;int main(){    int n;    int T;    long long a[100005];    long long dp[100005];    scanf("%d",&T);    for(int t=1; t<=T; t++)    {        scanf("%d",&n);        for(int i=0; i<n; i++)        {            scanf("%lld",&a[i]);        }        memset(dp,0,sizeof(dp));        dp[0]=a[0];        for(int i=1; i<n; i++)        {            if (dp[i-1]>=0) dp[i]=dp[i-1]+a[i];            else dp[i]=a[i];        }        int start=0,end=0,ans=a[0];        for(int i=1; i<n; i++)        {            if (ans<dp[i])            {                ans=dp[i];                end=i;            }        }        start=end;        for(int i=start-1; i>=0; i--)        {            if (dp[i]>=0) start=i;            else break;        }        printf("Case %d:\n",t);        printf("%d %d %d\n",ans,start+1,end+1);        if (t<T) printf("\n");    }    return 0;}

在找最优值的时候记录两个端点位置：

#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstdlib>using namespace std;const int maxn=110;int a[maxn];int n;int maxsum(int n, int *a, int &left,int &right){    int ret=0;    int dp=0;    int l=0,r=0;    for(int i=0; i<n; i++)    {        if (dp>0) {dp+=a[i]; r++;}        else {dp=a[i]; l=i; r=l;}        if (dp>=ret)        {            ret=dp;            left=l;            right=r;        }    }    return ret;}int main(){    while(scanf("%d",&n)!=-1)    {        for(int i=0; i<n; i++) scanf("%d",&a[i]);        int left=-1,right=-1;//-1表示没有子段可以取        int ans=maxsum(n,a,left,right);        printf("最大子段和为%d 起始位置为%d 终止位置为%d\n",ans,left,right);    }    return 0;}