Kruskal 最小生成树 & Dijkstra 最短路径

最小生成树的另一种算法——Kruskal 算法。首先我们定义带权图 G 的边集合为 E，接着我们再定义最小生成树的边集合为 T，初始集合 T 都为空。接着执行以下操作：

首先，我们把图 G 看成一个有 n 棵树的森林，图上每个顶点对应一棵树。

接着，我们将边集合 E 的每条边，按权值从小到大进行排序，

依次遍历每条边 e = (u, v)，我们记顶点 u 所在的树为 T​u​​ ，顶点 v所在的树为 T​v，如果 T​u 和 T​v 不是同一棵树，则我们将边 e 加入集合 T，并将两棵树 T​u和 T​v进行合并。

算法执行完毕后，集合 T 记录了最小生成树的所有边。

仔细分析算法，我们可以发现，Kruskal 算法也是采用了贪心的策略，每次都会选择一条两个顶点不在同一棵树且权值最小的边加入集合。Kruskal 算法的时间复杂度为 O(ElogE)，E 为图 G 的总边数，所以 Kruskal 算法一般应用于较为稀疏的图，也就是顶点较多、而边较少的图。

图论的另一个问题——最短路问题。什么是最短路问题呢？我们先来看这样一个问题：

有 n座城市，已知任意两座城市之间的距离，现在要分别求出城市 A 到其他 n - 1 座城市的最短路径，也就是求所经过的距离和的最小值。

这是一个经典的单源最短路问题，即求一起点到其余各个顶点的最短路径问题。

首先我们可以把该场景看成是一个带权图，把 n 个城市看成 n 个顶点，把两座城市之间的距离看成是两个顶点之间的边权值，这样问题就转化成了求顶点 A到其余 n - 1个顶点的最短路径。

Dijkstra 算法是常见的求解单源最短路问题的算法，我们将在后面详细讲述 Dijkstra 算法。

我们先来看看 Dijkstra 算法的具体过程：

我们定义带权图 G 所有顶点的集合为V，接着我们再定义已确定最短路径的顶点集合为 U，初始集合 U 为空。接着执行以下操作：

首先我们将起点 x 加入集合 U，并在数组 A 中记录起点 x 到各个点的最短路径（如果顶点到起点 x 有直接相连的边，则最短路径为边权值，否则为一个极大值）。

从数组 A 中选择一个距离起点 x 最近的、且不属于集合 U 的顶点 v（如果有多个顶点 v，任选其一即可），将顶点 v 加入集合 U，并更新所有与顶点 v 相连的顶点到起点 x 的最短路径。

重复第二步操作，直至集合 U 等于集合 V。

仔细分析算法，我们可以发现，Dijkstra 算法和前面讲解的 Prim 算法很相像，都是从一个点开始，每次确定一个点并完成更新，重复操作直至 n 个点都确定为止。Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(V^2+E)，V 为顶点总个数，E 为总边数。如果利用堆进行优化，可以将时间复杂度优化 O(VlogV+E)，是最坏情况下最优的单源最短路算法。

需要注意的是，Dijkstra 不适用于有边权为负数的情况哦，否则会影响算法的正确性。

#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;struct Edge {    int vertex, weight;};class Graph {private:    int n;    vector<Edge> * edges;    bool * visited;public:    int * dist;    Graph (int input_n) {        n = input_n;        edges = new vector<Edge>[n];        dist = new int[n];        visited = new bool[n];        memset(visited, 0, n);        memset(dist, 0x3f, n * sizeof(int));    }    ~Graph() {        delete[] dist;        delete[] edges;        delete[] visited;    }    void insert(int x, int y, int weight) {        edges[x].push_back(Edge{y, weight});        edges[y].push_back(Edge{x, weight});    }    void dijkstra(int v) {        //v是源点        dist[v]=0;        for(int i=0;i<n;i++){            int min_dist=INF,min_vertex;            for(int j=0;j<n;++j){                if(!visited[j]&&dist[j]<min_dist){                    min_dist=dist[j];                    min_vertex=j;                }            }            visited[min_vertex]=1;            //松弛操作            for(Edge &j:edges[min_vertex]){                //与min_vertex结点相连的结点遍历                //更新相邻点的最短距离                if(min_dist+j.weight<dist[j.vertex]){                    dist[j.vertex]=min_dist+j.weight;                   }            }        }    }};int main() {    int n, m;    cin >> n >> m;    Graph g(n);    for (int i = 0; i < m; i++) {        int a, b, c;        cin >> a >> b >> c;        g.insert(a, b, c);    }    g.dijkstra(0);    for (int i = 0; i < n; i++) {        cout << i << ": " << g.dist[i] << endl;    }    return 0;}