北航面试之离散数学

一.掌握运算和代数系统的概念.

1.运算定义：设X是个集合，f:Xn®Y是个映射，则称f是

   X上的n元运.(Xn =X×X×...×X --n个X的笛卡尔积)

2代数系统定义：X是非空集合，X上的m个运算

  f1,f2,…fm, 构成代数系统U,记作U=<X, f1,f2,…fm> ( m≥1)

二.熟练掌握二元运算的性质的判断及证明：

<X,«>和<X,«, o>是代数系统, «,o 是二元运算：

1.封闭性："x,y∈X, 有 x«y∈X。

2.可交换性："x,y∈X, 有 x«y=y« x。

3.幂等性： "x∈X,  有 x«x=x。

4. 有幺元： e∈X, "x∈X，有 e«x=x«e=x.

5.有零元: θ∈x,"x∈X，有θ«x=x«θ=θ.

6.可结合性："x,y,z∈X, 有 (x«y)«z =x«(y«z)。.

幻灯片9

7.有逆元： x∈X, 有x-1∈X，使得 x-1«x=x«x-1=e

8.可消去性： a∈X，"x, y∈X,有

     (a«x=a«y)∨(x«a=y«a) Þ x=y.   

9.分配律： «对o可分配："x,y,z∈X，有

     x«(yoz)=(x«y)o(x«z)    或 (xoy)«z =(x«z)o(y«z)

10.吸收律："x,y∈X，有 x«(xoy)=x  和   xo(x«y)=x

对这些性质要求会判断、会证明。

三.掌握代数系统同构定义,会证明.了解同构性质的保持

1.定义设<X,«>,<Y, o>是两个代数系统，«和 o 都是二元

运算，如果存在映射f:X®Y,使得对任何x1 ,x2∈X，有

      f(x1«x2)=f(x1)of(x2) --------此式叫同态(同构)关系式

则称 f是从<X,«>到<Y, o>的同态映射，简称这两个代数

系统同态。记作X∽Y。

并称<f(X), o >为<X,«>的同态像。

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如果f是满射的，称此同态f是满同态。

如果f是入射的，称此同态f是单一同态。

如果f是双射的，称<X,«>与<Y, o>同构，记作X≌Y。

f是<X,«>到 <X,«>的同态(同构),称之为自同态(自同构)。

2.代数系统同构性质的保持

代数系统<X,«>, <Y, Å>, X≌Y, f:X®Y是同构映射, 如果

<X,«>中«满足交换、结合、有幺元、有零元、每个元

素可逆, 则<Y,Å>中Å也满足上述性质。反之亦然.

3.同态核

定义：f是从<X,«>到 <Y,Å>的同态映射, (X∽Y),e«和 eÅ 分别是X、Y中幺元。定义集合ker (f)为：

       ker (f)={x|x∈X∧f(x)= eÅ }称ker (f)为 f的同态核。

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四.掌握半群,独异点,群,环和域的概念.

 

 

环: <R,+,·>

<R,+>是交换群

<R,·>是半群

·对+可分配

 

整环<R,+,·>

<R,+>是交换群

<R,·>是可交换独异点

无零因子(ab=0则a=0或b=0)

·对+可分配

 

域<F,+,·>             <F, +>是交换群

<F-{0},·>是交换群    

 ·对+可分配

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五.熟练掌握群的阶和元素的阶的概念及群的性质.

 1.群的阶:<G,*>是群 ,如果K[G]=n (n是正整数), 则G是n

阶群.否则G是无限阶群.

 2.元素的阶:设<G,«>是个群，a∈G，如果存在正整数k，

使得ak=e,则称a的阶是有限的。如果存在最小的正整数n，

使得an=e,则称a的阶是n。否则就称a的阶是无限的。

定理6-5.7：<G,«>是群, a∈G, 如果a的阶为n ,则

  ak=e 当且仅当 k=mn (m∈I)(即k是n的整数倍)

定理6-5.8. 群中的元素与其逆元 具有相同的阶。

定理6-5.9  有限群中，每个元素的阶都是有限的。

   

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   3.群的性质

    1).群满足可消去性

定理6-5.1设<G,«>是个群，则对任何a,b,c∈G, 如果有

     ⑴   a«b=a«c   则  b=c 。  

     ⑵   b«a= c«a    则 b=c 。

   2). 群方程可解性

定理6-5.2 设<G,«>是个群，则对任何a,b∈G,

     ⑴   存在唯一元素 x∈G, 使得 a«x=b ……..⑴

     ⑵   存在唯一元素 y∈G, 使得 y«a=b ……..⑵

   3). 群中无零元。

定理6-5.3 设<G,«>是个群,如果K[G] ≥2,则G中无零元.

   4). 群中除幺元外，无其它幂等元。

   5).定理6-5.5 <G,«>是个群，对任何a,b∈G,有

       ⑴  (a-1)-1 =a                ⑵  (a«b)-1=b-1«a-1

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   6). 有限群的运算表的特征

定理6-5.6 <G,«>是个有限群，则G中每个元素在«运算

表中的每一行(列)必出现且仅出现一次。

 

练习题:给定群<G,*>,*的运算表如

右图所示.求解下面群的方程:

   b*d-1*x*c=d*c-1

解: b*d-1*x*c=d*c-1 ∵ d-1=b  c-1=c

    ∴  b*b*x*c=d*c ∵ b*b=c ∴ c*x*c=d*c

    消去c得  c*x=d  

    解得:  x=c-1*d=c*d=b

 

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l 六.掌握交换群(会证明)

l 练习题1.给定集合Ｇ＝{x|x是有理数且x≠1}，在Ｇ上定义二元运算*如下：任何a，b∈Ｇ   a*b=a+b-ab

l 求证<Ｇ，*>是个交换群。

l 证明:1.证封闭性.任取a,bÎG,∴a≠1,b≠1,

l a*b=a+b-ab 若a+b-ab=1,则b=    =1, 产生矛盾.

l 所以 a+b-ab≠1  ∴ a*bÎG

l 2.证可结合性,任取a,b,cÎG,∴a≠1,b≠1,c≠1,

l a*(b*c)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)

l =a+b+c-bc-ab-ac+abc=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=(a*b)*c

l 3.证有幺元0,任取aÎG,

l   a*0=a+0-a0=a  0*a=0+a-0a=a  所以0是幺元.

 

 

 

幻灯片16

l 4.证可逆性.任取aÎG,a≠1,设有b,使得

l   a*b=a+b-ab=0 ∴ a+(1-a)b=0, b=   ≠1 ∴bÎG  

l a*b=0 且b*a=   *a=    +a-    a=           =0

 

l 所以a有逆元b.即a-1=

 

l 5.证交换性.任取a,bÎG,

l   a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a

 

l   综上所述<G,*>是个交换群.

 

 

 

 

 

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l 七. 了解循环群.

l    1.循环群的定义:设<G,«>是群,如果存在一个元素g∈G, 使得对每个 x∈G, 都存在整数i, 有x=gi, 则称<G,«>是个循环群. 并称g是G的生成元.

l    2.循环群的循环周期:

l         周期有限:为k;

l         周期无限:

l    3.两种循环群:

l       <Nk,+k>: 周期为k;

l       <I,+>    : 周期无限.

 

 

 

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八.会证明子群,会应用Lagrange定理及其推论.

 1.子群的证明方法:

方法1.用子群的定义，即证明运算在子集上满足封闭、

有幺元、可逆。

方法2. 设<G,«>是群, S是G的非空子集，如果

<S,«>满足：封闭性和可逆性,则<S,«>是<G,«>的子群。

方法3.设<G,«>是群, B是G的有限子集,如果«在B上满足

封闭性，则<B,«>是<G,«>的子群。

方法4. 设<G,«>是群, S是G的非空子集，如果任何a,b∈S   有a«b-1∈S, 则<S,«>是<G,«>的子群。

 

 

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练习题2:设f和g都是群<G1,«>到<G2, o >的同态，证明

<C,«>是<G1,«>的一个子群，其中

     C={x| x∈G1且f(x)=g(x)}

证明：方法1，用子群定义证明<C,«> 满足：

a)封闭性.任取x1, x2∈C,(推出x1«x2∈Cf(x1«x2)=g(x1«x2))

∴ f(x1)=g(x1)   f(x2)=g(x2)

  f(x1«x2) =f(x1) o f(x2) =g(x1) o g(x2)=g(x1«x2) ∴x1«x2∈C

b)证幺元e1∈C, (推出f(e1)= g(e1))

  设e1和e2分别是G1和G2中的幺元,

  因 f(e1)= e2= g(e1) ∴ e1∈C。

c)可逆性：任取x∈C, (推出x-1∈C 即 f(x-1)= g(x-1))

  f(x)=g(x)   x-1∈G1, f  (x-1)= (f(x))-1= (g(x))-1 =g(x-1)

∴ x-1∈C。 综上所述， <C,«>是<G1,«>的一个子群。

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l 方法4,任取x1, x2∈C,

l    (推出x1«x2-1 ∈C  即  f(x1«x2 -1)=g(x1«x2 -1))

l   ∴ f(x1)=g(x1)   f(x2)=g(x2)   x2-1∈G1

l    f(x1«x2-1 ) =f(x1)o f(x2-1) =f(x1)o(f(x2))-1 = g(x1)o (g(x2))-1

l    = g(x1) o g(x2-1) = g(x1«x2-1)   

l    ∴ x1«x2-1∈C

l   所以<C, «>是<G1,«>的一个子群。

 

 

幻灯片21

综合练习题:设<G,«>是群，定义G上关系R如下；

   R= {<x,y>| $z∈G,使得 y=z«x«z-1 }

1.证明R是G上等价关系。

2.令上述<G,«>为<N6,+6>时, 求商集N6/R.

证明1.a) 证R自反：任取x∈G, 幺元e∈G,  因为 x=e«x«e-1     由R定义得<x,x>∈R，所以R自反。

b)证R对称：任取x,y∈G, 设有<x,y>∈R,

由R定义得$z∈G,使得 y=z«x«z-1 , 于是有：

   z-1«y«z= z-1«(z«x«z-1)«z ,

    z-1«y«z= (z-1«z)«x«(z-1«z) , 所以  z-1«y«(z-1) -1 =x

因z-1∈G，所以有<y,x> ∈R, 所以R对称。

c)证明R传递：任取x,y,z∈G, 设有<x,y>∈R, <y,z>∈R

由R定义得$z1,z2∈G,使得 y=z1«x«z1-1 , z=z2«y«z2-1 ,

于是有z=z2«y«z2-1 = z2«(z1«x«z1-1)«z2-1

= (z2«z1)«x«(z1-1«z2-1)=(z2«z1)«x«(z2«z1)-1  因

z2«z1∈R ,∴<x,z>∈R, ∴R传递。∴R是G上等价关系。

幻灯片22

*2.令上述<G,«>为<N6,+6>时, 求商集N6/R.

    N6={0,1,2,3,4,5}

    R= {<x,y>| $z∈N6,使得 y=z«x«z-1 },

    <x,y>∈RÛ $z(y=z«x«z-1)Û$z(y«z=z«x)

按照上述表达式得关系R图如下:

 

 

 

 

 

 

因此商集 N6/R={{0},{1},{2},{3},{4},{5}}

 

幻灯片23

l   第七章 格与布尔代数

 

l 1.掌握格的定义,了解格的性质.

l 2.会判断格,分配格,有补格和布尔格,

l 3.重点掌握两个元素的布尔代数的性质(10个).

l 4.会写两个元素的布尔表达式的范式.(实质是第一章的主

l    析取和主合取范式).

 

 

幻灯片24

一.掌握格的定义

1. 格的定义

   <A,≤>是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大

下界和最小上界，则称<A,≤>是格。

2. 由格诱导的代数系统

设<A, ≤>是格,在A上定义二元运算∨和∧为:"a,b∈A

 a∨b=LUB {a,b} {a,b}的最小上界.Least Upper Bound

 a∧b=GLB {a,b} {a,b}的最大下界.Greatest Lower Bound

称<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统. (∨-并,∧-交)

二.格的性质

   <A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。"a,b,c,d∈A

1.   a≤a∨b    b≤a∨b    a∧b≤a    a∧b≤b

2.如果a≤b，c≤d，则 a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。

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推论：在一个格中，任何 a,b,c∈A，如果b≤c，则

      a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c。 此性质称为格的保序性。

3.  ∨和∧都满足交换律。即 a∨b=b∨a，a∧b=b∧a。

4. ∨和∧都满足幂等律。即  a∨a=a    a∧a=a

5. ∨和∧都满足结合律。即

       (a∨b)∨c =a∨(b∨c) ， (a∧b)∧c =a∧(b∧c) 。

6. ∨和∧都满足吸收律。即a∨( a∧b) =a, a∧(a∨b) =a。

7. <A,∨,∧>是代数系统，如果∨和∧是满足吸收律的二

元运算，则∨和∧必满足幂等律。

8. ∨和∧不满足分配律。但有分配不等式：

     a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧(a∨c) ，

     (a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c) 。

9.   a≤bÛ a∨b=b Û a∧b=a

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三.格的同态,同构

1.设<A1,≤1> 和<A2, ≤2>是两个格，由它们诱导的代数系

统分别是<A1,∨1,∧1>和 <A2,∨2,∧2>，如果存在映射f:A1®A2  使得对任何a,b∈A1,

    f(a∨1b)=f(a)∨2f(b)

    f(a∧1b)=f(a)∧2f(b)

则称f是<A1,∨1,∧1>到 <A2,∨2,∧2>的同态映射。

也称<f(A1),≤2>是<A1,≤1> 的同态像。

如果 f 是双射的，就称f是<A1,∨1,∧1>到 <A2,∨2,∧2>，

的格同构，也称格<A1,≤1> 和<A2, ≤2>同构。

   两个格同构:两个格的图同构.

2.格同态和同构的保序性

幻灯片27

四.分配格

1.定义<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。如果

对"a,b,c∈A，有

     a∨(b∧c) =(a∨b)∧(a∨c) ，

     a∧(b∨c)= (a∧b)∨(a∧c)

则称<A,≤>是分配格。

2. 二个重要的五元素非分配格：

3.分配格的判定：

  一个格是分配格的充分且必要条件是在该格中没有任何

子格与上述两个五元素非分配格之一同构.

4. 分配格的性质

   1). 定理7-2.1. 在格中，如果∧对∨可分配，则∨对∧也

可分配.反之亦然。

   2). 定理7-2.2. 所有链均为分配格。

 

 

幻灯片28

3). 设<A, ≤>是分配格，对任何a,b,c∈A, 如果有  a∧b=a∧c  及 a∨b=a∨c   则必有 b=c .

五.有界格

   有界格定义：如果一个格存在全上界1与全下界0，则

称此格为有界格.

六.有补格

1. 元素的补元：

   设<A,≤>是个有界格，a∈A, 如果存在 b∈A, 使得

    a∨b=1   a∧b=0 则称a与b互为补元。

2. 有补格的定义：一个有界格中，如果每个元素都有补

元，则称之为有补格。

3.在有界分配格中，如果元素有补元，则补元是唯一的。

七. 布尔格  如果一个格既是分配格又是有补格，则称

之为布尔格。布尔格中每个元素都有唯一补元。

幻灯片29

练习题.给定集合如下：

A1={1,2,4,8,16}       A2={1,2,3,5,6,10,15,30}

A3={1,2,3,5,30}       A4={1,2,3,5,10,15,30}

A5={1,2,3,4,9,36}  令≤是上述集合上的整除关系。

1.请分别画出各个偏序集<Ai,≤>的哈斯图(i=1,2,3,4,5)

 

 

幻灯片30

 

 

 

 

 

 

 

 

2.用“Y”表示“是”，用“N”表示“否”填下表。

     <A1,≤> <A2,≤> <A3,≤> <A4,≤>   <A5,≤>

分配格

有补格

布尔格

 

 

幻灯片31

八. 布尔代数

1.定义

    由布尔格<B, ≤>诱导的代数系统<B, ∨, ∧,¯>称之

为布尔代数。其中 ¯ 是取补元运算。

    如果A是有限集合，则称它是有限布尔代数。

2.布尔代数性质

设<B, ∨, ∧,¯>布尔代数, 任意x,y,z∈B,  有

⑴交换律   x∨y=y∨x     x∧y=y∧x

⑵结合律   x∨(y∨z)=(x∨y)∨z   x∧(y∧z)=(x∧y)∧z

⑶幂等律   x∨x=x     x∧x=x

⑷吸收律   x∨(x∧y)=x    x∨(x∧y)=x

⑸分配律   x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z)

                   x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)

 

 

幻灯片32

⑹同一律   x∨0=x     x∧1=x

⑺零律       x∨1=1     x∧0=0

⑻互补律   x∨    =1     x∧    =0

⑼对合律

⑽底－摩根定律

3.布尔代数的同构

1). 定义：令<B1,∨1, ∧1, ¯>和 <B2,∨2, ∧2, ~>是两个布尔

代数，如果存在映射f:B1®B2 ,对任何a,b∈B1 , 有

    f(a∨1b)=f(a)∨2f(b)

    f(a∧1b)=f(a)∧2f(b)

    f(    )=

则称f是<A1,∨1,∧1>到 <A2,∨2,∧2>的同态映射。

 

 

 

 

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2). 原子

   定义1: 设设<B, ∨, ∧,¯>布尔代数,元素a∈B, a≠0,对

任何元素x∈B,有x∧a=a,或 x∧a=0,则称a是原子。

   定义2:<A,≤>是布尔格,在<A,≤>的哈斯图中称盖住全

下界0的元素为原子。

 

 

 

 

 

 

 

幻灯片34

3). 有关引理

⑴定理7-3.2 设a,b是布尔代数<B,∨,∧,¯>中的原子，如果

a≠b, 则a∧b=0, (如果a∧b≠0, 则 a=b)

⑵定理7-3.3 设a,b1,b2 …bn是 布尔代数<B,∨,∧,¯>中的原

子，则a≤b1∨b2∨…∨bn的充分且必要条件为 对于某个i

(1≤i≤n),  有a=bi.

⑶定理7-3.4 设b是有限布尔代数<B,∨,∧,¯>中的 非0元素，则必存在原子a，使得a≤b.

⑷定理7-3.5 有限布尔代数中，b∧    =0，当且仅当 b≤c。

⑸定理7-3.6 设<B,∨,∧,¯>是有限布尔代数，b非0元素，

a1,a2 …ak是B中满足aj≤b的所有原子(j=1,2,…k), 则

 b＝a1∨a2 ∨…∨ak且除原子次序不同外，上述表达式是唯一的。

幻灯片35

l ⑹定理7-3.7 在布尔代数<B,∨,∧,¯>中，对B中任何原子a

l 和任何非0元素b, a≤b和a≤   两式中有且仅有一个成立。

l ⑺定理7-3.8 (Stone定理)设<B,∨,∧,¯>是有限布尔代数，

l M是B中所有原子构成的集合，则

l <B,∨,∧,¯>与<P(M),∪,∩,~>同构。

l ⑻推论1. 任何有限布尔代数的元素个数为2n   (n=1,2,3,…)

l          因为|P(M)|= 2n

l 推论2. 两个有限布尔代数同构的充分且必要条件是元素

l 个数相同。

 

 

幻灯片36

4. 布尔表达式概念

1).定义：设<B,∨,∧,¯>是布尔代数，其上的布尔表达式

递归定义如下：

(1)B中任何元素是个布尔表达式。

(2)任何变元x是个布尔表达式.

(3)如果E1 ,E2是个布尔表达式, 则      ,(E1∧E2),(E1∨E2)也

是布尔表达式。

(4)有限次地应用规则1)--3),得到的符号串都是布尔表达式。

 

幻灯片37

2). 布尔表达式的范式

 1. 有两个元素的布尔代数的布尔表达式的范式:

   <{0,1},∨,∧,¯>是两个元素的布尔代数

   1). 析取范式

      (1).小项:含有n个变元的小项形式为:

其中      

例如                                                                         都是小项.         

      (2).布尔表达式的析取范式:

含有变元 x1,x2,…,xn的布尔表达式E(x1,x2,…xn),如果写成

如下形式:  A1∨A2∨...∨Am (m≥1)

其中每个Ai (1≤i≤m)都是有n个变元的小项.则称此式是

E(x1,x2,…xn)的析取范式.

 

 

 

幻灯片38

l 2). 合取范式

l     (1). 大项:含有n个变元的大项形式为:

l 其中

l 例如                                                                         都是大项.      

l    (2).布尔表达式的合取范式:

l 含有变元 x1,x2,…,xn的布尔表达式E(x1,x2,…xn),如果写成

l 如下形式:  A1∧A2∧...∧Am (m≥1)

l 其中每个Ai (1≤i≤m)都是有n个变元的大项.则称此式是

l E(x1,x2,…xn)的合取范式.例如:

 

l 3). 析取范式与合取范式的写法:

l   方法1:列真值表

l   方法2:表达式的等价变换.

l 

 

 

 

 

 

幻灯片39

l 方法1. 用真值表求析取范式:

l      先介绍小项的性质,以两个变元x1,x2为例

 

 

 

 

 

 

l      每一组赋值,有且仅有一个小项为1.

l 根据一组赋值,求值为1的小项:如果变元x,被赋值为0,则

l 在此小项中, x以   形式出现;如果变元x,被赋值为1,则在

l 此小项中, x以原形x形式出现.  

l 求E(x1,x2,…xn)的析取范式:先列出它的真值表,找出表中

l 每个1对应的小项,然后用∨连接上述小项.

l 

 

 

幻灯片40

例如,求布尔代数<{0,1},∨,∧,¯>上的布尔表达式

 E(x1,x2,x3)=x1∧(x2∨    ) 的析取范式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(x1,x2,x3)=(x1∧   ∧     )∨(x1∧ x2∧    )∨(x1∧ x2∧x3)

 

幻灯片41

方法1. 用真值表求合取范式:

     先介绍大项的性质, 以两个变元x1,x2为例

 

 

 

 

 

 

     每一组赋值,有且仅有一个大项为0.

根据一组赋值,求值为0的大项: 如果变元x,被赋值为1,则

在此小项中, x以   形式出现; 如果变元x,被赋值为0,则在

此小项中, x以原形x形式出现.  

求E(x1,x2,…xn)的合取范式:先列出它的真值表,找出表中

每个0对应的大项,然后用∧连接上述大项.

 

幻灯片42

l 例如,求布尔代数<{0,1},∨,∧,¯>上的布尔表达式

l  E(x1,x2,x3)

l =x1∧(x2∨    )

l 的合取范式.

 

 

 

 

 

 

 

l E(x1,x2,x3)=(x1∨x2∨x3)∧(x1∨x2∨    ) ∧ (x1∨   ∨x3)∧ (x1∨   ∨    ) ∧(   ∨ x2∨    )

 

 

 

 

 

幻灯片43

方法2. 用表达式的等价变换求析取范式:

E(x1,x2,x3)=x1∧(x2∨     ) =(x1∧x2)∨(x1∧     )

=(x1∧x2∧(x3∨    ))∨ (x1∧(x2∨    )∧     )

=(x1∧x2∧x3)∨(x1∧x2∧   )∨(x1∧x2∧     )∨(x1∧   ∧    )

=(x1∧x2∧x3)∨(x1∧x2∧    )∨(x1∧    ∧    )

结果与前相同.

用表达式的等价变换求合取范式:

E(x1,x2,x3)=x1∧(x2∨     )

=(x1∨(x2∧    )∨(x3∧    ))∧((x1∧   )∨x2∨    )

=(x1∨x2∨ x3 )∧(x1∨x2∨    )∧(x1∨   ∨x3 )∧(x1∨  ∨    )

  ∧(x1∨x2∨    )∧ (    ∨x2∨     )

=(x1∨x2∨ x3 )∧(x1∨x2∨    )∧(x1∨   ∨x3 )∧(x1∨  ∨    )

    ∧ (    ∨x2∨     )

 

 

 

 

幻灯片44

2. 一般的布尔代数的布尔表达式的范式:

   < B,∨,∧,¯>是布尔代数,含有变元 x1,x2,…,xn 的布尔表

达式E(x1,x2,…xn),

1). 小项: 是由n个变元和B中元素构成的如下形式,称为小

项.

其中                                                           

Cδ1δ2...δn为B中元素, 我们称之为小项的系数.      

例如B={0,1,a,b}, 下面就是E(x1,x2,x3)中的小项:

 

2). 布尔表达式E(x1,x2,...xn)的析取范式:

含有变元 x1,x2,…,xn 的布尔表达式E(x1,x2,…xn),如果写成

如下形式:  A1∨A2∨...∨Am (m≥1)

其中每个Ai (1≤i≤m)都是有n个变元的小项. 则称此式是

E(x1,x2,…xn)的析取范式.

 

 

 

幻灯片45

l E(x1,x2,…xn)写析取范式形式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l 

 

 

幻灯片46

l 类似地, E(x1,x2,…xn)的合取范式为:

l E(x1,x2,…xn)=(x1∨x2∨...∨xn ∨E(0,0,…,0))∧

l         (x1∨x2∨...∨xn-1∨    ∨E(0,0,…0,1))∧...∧

l         (   ∨   ∨...∨      ∨xn∨E(1,1,…,1,0))∧

l         (   ∨   ∨...∨    ∨E(1,1,…,1))

 

l 其中

l E(0,0…,0),E(0,0,…0,1),…,E(1,1,…1,0)和E(1,1,…,1)

l 就是所谓的“系数”.

l 实际上, 求E(x1,x2,…xn)的析取或者合取范式时,就是求这

l 些“系数”.

l 

 

 

幻灯片47

l 已知<B, ∨,∧ ,¯>是布尔代数, 其中B={0,a,b,1}

l 分别求出下面布尔表达式的析取范式和合取范式.

 

l 解. 先求四个系数:

 

 

 

 

l 析取范式为:

 

 

 

 

 

 

 

幻灯片48

l 合取范式为:

 

l 

 

 

幻灯片49

        第八章  图论

1.掌握图的基本概念.(特别注意相似的概念)

2.熟练掌握图中关于结点度数的定理. (会应用)

3.无向图的连通性的判定,连通分支及连通分支数的概念.

4.有向图的可达性,强连通,单侧连通和弱连通的判定.求强分图,单侧分图和弱分图.

5.会求图的矩阵.

6.会判定欧拉图和汉密尔顿图.

7.会判定平面图,掌握欧拉公式.

8.了解对偶图.

9.掌握树的基本定义,v和e间的关系式.会画生成树,会求最

小生成树.根树的概念,完全m叉树的公式,会画最优树,

会设计前缀码.

幻灯片50

一.图的概念

  图的定义, 有向边,无向边,平行边,环

  邻接点,邻接边,孤立结点

  有向图, 无向图,简单图,混合图,零图,平凡图,多重图,

  完全图,子图,生成子图,补图,

  结点的度, 结点的出度, 结点的入度,

  图的最大度Δ(G),最小度δ(G),

  图所有结点度数总和与边的关系,出度和与入度和关系

  图的同构

幻灯片51

l 二.路与回路

l   路,回路,迹,闭迹,通路,圈

l   无向图的连通性:连通图,连通分支,连通分支数W(G),

l    点割集,割点,点连通度k(G),

l    边割集,割边(桥),边连通度λ(G)

l    结点间的距离, 图的直径

l    有向图的连通性:可达性,

l     强连通,单侧连通,弱连通,强分图,单侧分图,弱分图.(会求这些分图)

 

 

l 

 

幻灯片52

三.图的矩阵

   邻接矩阵A:结点与结点之间的邻接关系矩阵.

       根据邻接矩阵判断:各结点的度,有向图结点出,入度.

       由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k的路条数.

  可达矩阵P:结点u到结点v的可达性的矩阵.

       用P可以判定:各结点的度.有向图的强分图.

  关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵.

       用M判定:各结点的度

 

幻灯片53

四.欧拉图与汉密尔顿图(会判定)

   欧拉路,欧拉回路,欧拉图.

   判定:有欧拉路的充要条件:无或有两个奇数度的结点.

           有欧拉回路的充要条件:所有结点度数均为偶数.

  汉密尔顿路,汉密尔顿回路,汉密尔顿图

  汉密尔顿图的判定:

    必要条件:V的任何非空子集S,有W(G-S)≤|S|

    充分条件:每对结点的度数和≥|V| =n

五.平面图

   平面图的定义,平面的边界,

    欧拉公式: v-e+r=2

   判定:必要条件: e≤3v-6

          充要条件:G不含与K5或K3,3在2度结点内同构子图.

幻灯片54

l 六.对偶图与着色

l     会画对偶图, 会对图正常着色.

l 七. 掌握K3.3

l 八.树与生成树

l    树的定义:6个定义,其中最主要的是连通无回路, e=v-1

l    分支结点, 叶结点

l    会求最小生成树

l 九. 根树

l    m叉树,完全m叉树, (m-1)i=t-1

l    会画最优树, 会设计前缀码

l 

 

幻灯片55

l 练习题

l 1.请画出K5的所有不同构的生成树。

l 解. K5的生成树T边数为4, T的度数和为8

 

 

 

 

l 2.一棵完全二叉树有e条边，t个叶结点，请推导出e与t的关系式。

l 解.根据完全m叉树的公式:(m-1)i=t-1

l 得分支结点数 i=t-1 又根据树中 e=v-1 v是结点数.

l 所以 e=(i+t)-1=t-1+t-1=2t-2

l 

 

 

 

 

 

(11114)

(11123)

(11222)

幻灯片56

3.今有a,b,c,d,e,f,g七个人,已知下列事实:

  a:会讲英语.               b:会讲英语和汉语.

  c:会讲英语,意大利语和俄语 d:会讲日语和汉语.

  e:会讲德语和意大利语      f:会讲法语,日语,俄语

  g:会讲法语和德语.

试问能否将这七个人适当安排座位,使得每个人都能和他

两边的人直接交谈?若能,请给予安排.若不能,说明理由.

解. 以a,b,c,d,e,f,g为结点,如果两个

人之间讲同一种语言,则它们之间

连一条直线.得到右图.

 从此图中找到H回路: abdfgeca

按照此回路坐成一个圆圈,就可以

使得每个人都可以和它两边的人直接交谈.

 

幻灯片57

4. 下面序列哪些可以构成一个无向连通图的结点度数序列?哪些不能?哪些可以构成连通简单图?哪些可能构成欧拉图?哪些可能构成汉密尔顿图?哪些可能是完全图?哪些可能是树?如果能.请画出一个那样的图. 如果不能请说明原因.

       a.(1,2,3,3)       b.(3,3,3,3)    c.(1,1,1,1,2,4)

       d.(2,3,3,4,4)  e.(2,3,4,4,5)   f.(2,2,2,2,4)

解.a.(1,2,3,3) 不能构成无向连通图的结点度数序列,

因为此序列中有三个奇数,不附和握手定理.

b.(3,3,3,3) 可以是个完全图K4,是个H图.

c.(1,1,1,1,2,4) 可以是棵树.

d.(2,3,3,4,4) 构成无向连通图的

   结点度数序列,是个H图.

 

 

 

幻灯片58

l e.(2,3,4,4,5)可构成连通图的结点序列.但不是简单图,5个

l 结点中有一个结点度为5, 所以不是有环,就是有平行边.

 

 

 

l f.(2,2,2,2,4)是个欧拉图,