Fibonacci快速解法

斐波那契（1175年-1250年），意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

解决Fibonacci问题经常使用的方法是递归方式解决。但是递归效率并不是很高，经常会有重复计算的问题。因此可以借助一个HashMap变量来存储中间中间值，key是Ni，value存储F(N¬i)的值，这样会节省很多重复计算的时间 。更进一步是的是使用for循环的方法解决将递归方式转化为for循环实现的方式，这种方式能够做到时间复杂度为O(n)。但是，在这里并不是介绍这些，因为以上这些部分太基础了。在这里介绍最近刚学习到的新方法，时间复杂度做到了O(logN)。

数学依据
Fibonacci问题表示如下：

可以转化成：

因此，求得Fn可以直接求取值即可。

代码实现

public static int fabonacci(int n) {    int result = 0;    if (n == 1 || n == 2) return 1;    if (n <= 0) { return 0; }     else {        int[][] mat = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };        int[][] matrix = getMaxtrix(mat, n % 2 == 1 ? n - 1 : n - 2);        if (n % 2 == 1) { result = matrix[1][1]; }         else { result = matrix[0][0] + matrix[1][0];}    }    return result;}private static int[][] getMaxtrix(int[][] mat, int n) {    int[][] retMat = new int[mat.length][mat[0].length];    for (int i = 0; i < retMat.length; i++) retMat[i][i] = 1;    int[][] tmp = mat;    for (; n != 0; n >>= 1) {//快速乘法        if((n&1) == 1){ retMat = matMulti(retMat, tmp); }        tmp=matMulti(tmp, tmp);    }    return retMat;}private static int[][] matMulti(int[][] retMat, int[][] mat) {    int[][] retmat = new int[retMat.length][mat[0].length];    for (int i = 0; i < retmat.length; i++) {//row        for (int j = 0; j < retmat[0].length; j++) {//collum            for (int k = 0; k < retMat[0].length; k++) {                retmat[i][j] += retMat[i][k] * mat[k][j];            }        }    }    return retmat;}

以上代码能够实现Fibonacci方法的快速求解。