陶哲轩实分析-第12章 度量空间

5.4-6.7上册看完了，开始下册

12.1 定义和例

这本书有时候就是觉得过于细了，比如注12.1.3
例12.1.12中不适用球面几何怎么验证三角不等式呢
例12.1.13中最短路径问题，d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)，否则如果大于，那么d(x,y)就不是x和y之间最短距离
命题12.1.18(d)中实数序列不就是Rn中点吗？

习题看着多，其实都很简单，不像序偶那一节
习题中证明度量空间大部分只需要证明不等式即可，其它3个一般都是自然成立的
习题
12.1.1
=>
xn收敛到x，那么对于任意ε，存在N，当n≥N则|xn−x|≤ε，根据实数的定义，d(xn,x)=0。
<=
如果d(xn,x)=0，那么对于任意ε，存在N，当n≥N则|xn−x|≤ε，这就是序列收敛的定义。

12.1.2
(a)(b)(c)都显然，(d)根据命题4.3.3

12.1.3
(a) 修改离散度量为所有值都为1
(b) 修改离散度量为所有值都为0
(c) 考虑现实里面3个地方只能A->B->C->A
(d) 有限集合随便定义很容易构造
比如
a
b
c
a-b=b-a=3
a-c=c-a=4
b-c=c-b=50

12.1.4
对于任意x,y∈Y，满足x,y∈X，所以定义12.1.2中的4条性质都满足

12.1.5

12.1.6(Rn,dl2)
(a) d(x,x)=0
(b) d(x,y)>0
(c) d(x,y)=d(y,x)
a，b，c都显然
(d) 根据12.1.5

12.1.7
(a) d(x,x)=∑0=0
(b) d(x,y)，如果xy不同，比如有一个分量不同，那么必然大于0
(c) d(x,y)=d(y,x)，因为|x−y|=|y−x|
(d) |x−z|=|x−y+y−z|≤|x−y|+|y−z|

12.1.8需要证明(∑ni=1(xi−yi)2)12≤∑|xi−yi|≤n−−√(∑ni=1(xi−yi)2)12
令|xi−yi|=zi，那么(∑zi)2=∑z2i+∑i≠jzizj≥∑z2i，第一个不等式证明完成
第二个不等式
∑|xi−yi|≤n−−√(∑ni=1(xi−yi)2)12
等价于
∑|xi−yi|×1≤(∑1)12(∑ni=1(xi−yi)2)12
根据Cauchy-Schwarz不等式，证明完成。

12.1.9
(a) d(x,x)=sup0=0
(b) d(x,y)=sup|xi−yi|≥0
(c) d(x,y)=d(y,x)，因为|x−y|=|y−x|
(d) 需要证明sup|xi−zi|≤sup|xi−yi|+sup|yi−zi|
不妨设3个第一个式子取得最大值下标为i，因为n有限，这个总是能取到，那么
sup|xi−zi|=|xi−zi|≤|xi−yi|+|yi−zi|≤sup|xi−yi|+sup|yi−zi|
证明完成。

12.1.10需要证明
(∑ni=1(xi−yi)2)12n√≤sup|xi−yi|≤(∑ni=1(xi−yi)2)12
不妨设sup|xi−yi|=|xk−yk|那么任意|xi−yi|≤|xk−yk|，第一个不等式证明完成，第二个不等式是显然的。

12.1.11
(a) d(x,x)=0
(b) d(x,y)=1>0
(c) d(x,y)=d(y,x)=1 d(x,x)=d(x,x)=0
(d) d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)
xyz都不等 1<2
x=z≠y 0<2
x=y≠z 1≤1
z=y≠x 1≤1
x=y=z 0≤0

12.1.12只需要证明abc都和d等价即可
(a)<=>(d)
=>
存在N，当n>N则
|x(k)j−xj|=(|x(k)j−xj|2)12≤(∑|x(k)i−xi|2)12≤ε
<=
对于任意ε ，存在N，当k>N则|x(k)j−xj|≤ε/n−−√，则$(\sum |x_i^{(k)}-x_i|^2)^{\frac 12}\le

\varepsilon$

(b)<=>(d)
(c)<=>(d)
同理证明

12.2.13
=>
xn收敛则存在N，当n>N则|x(n)−x|≤0.5所以当n>N则x(n)=x
<=
如果n>N则x(n)=x，根据收敛定义，xn收敛

12.2.14
跟命题6.1.7证明完全类似

12.2.15
证明度量
(a) d(x,x)=0 显然，因为每一项都等于0
(b) d(x,y)，如果xy不同，比如有一个分量不同，那么必然大于0
(c) d(x,y)=d(y,x)，因为|x−y|=|y−x|
(d)对于dl1， |x−z|=|x−y+y−z|≤|x−y|+|y−z|
对于dl∞，跟习题12.1.9类似

dl∞收敛但dl1不收敛的度量
an=1n
bn=0

dl1收敛则dl∞收敛
sup|an−bn|≤∑|an−bn|

12.1.16
对于任意ε，存在N，当n>N则|xn−x|≤ε/3，存在M，当n>M则|yn−y|≤ε/3，取max(M,N)，则||xn−yn|−|x−y||≤|xn−x−yn+y|≤|x−xn|+|yn−y||≤2∗ε/3，由于ε任意小，证明完成。

12.2 度量空间的一些点集拓扑知识

习题
12.2.1
如果x0∈E，那么B(x0,0.5)⊆E
如果x0∉E，那么B(x0,0.5)⊆X∖E

12.2.2
a->b
反证法，如果x0是外点，那么必然有半径r的球不属于E，与E是附着点的定义(12.2.9)矛盾。
b->c
选择公理
c->a
反证法，假设x0不是附着点，那么必然存在r，B(x0,r)不属于E，那么E中所有点x都满足|x−x0|>r，那么不可能存在序列收敛到x0，矛盾。

12.2.3
(a)E开<->E=int(E)
=>
E开，所以E中任一点x都不是边界点，只需要证明不是外点，就是内点，因为x∈E，x不是外点
<=
根据开集定义，E不包含边界点所以都是内点，是开集

(b)E闭<->E包含一切收敛点
=>
对于任意收敛点x，因为x不是E的外点，那么必然是边界点或内点，因为E是闭的，包含所有边界点，所以x∈E
<=
反证法，假设E不包含某个E的收敛点x(命题12.2.10(c))，那么必然存在一个序列收敛到x，因为收敛序列不能收敛到两个不同的点，这与E包含一切收敛点矛盾

(c)
B(x0,r)开集证明
对于任意x∈B(x0,r)，d(x,x0)=s<r，那么B(x,(r−s)/2)⊂B(x0,r)⊆X，也就是说任一点都是内点，证明完成。
闭集证明
{d(x,x_0) < r}内点
{d(x,x_0) > r}外点
{d(x,x_0)=r}边界点
所以≤为闭集

(d)
x0为内点
X∖x0为外点
没有边界点，所以既是开的也是闭的

(e)E开<->E补为闭
这里感觉证明是如此容易
整个集合包含
E内点
E外点
E边界点
如果E边界点全部包含在E中，那么E为闭集，E外点为E的补集，组成开集
如果E边界点全部不包含在E中，那么E为开集，E外点和边界点的并为E的补集，组成闭集
如果E边界点为空，那么E和E的补集都即开又闭
如果E的边界点一部分包含在E中，一部分不包含在E中，那么E和补集都既不开也不闭。

(f)
对于交集中任意元素x0，由于每个Ei都是开集，那么对于每个i，都存在ri满足B(x,x0)<ri，取最小的ri，则B(x,x0)⊂E1∩...∩En，所以交集是开集。

对于集合的并，根据命题3.1.28(h)，F1∪...∪Fn=X∖((X∖F1)∩...∩(X∖Fn))，结合(e)和(f)证明的前半部分可以得出结果

(g)
对于任意x0∈∪Eα那么存在i∈I，x0∈Ei，那么B(x0,r)⊆Ei⊆∪Eα，所以这个并集是开集

并是闭集的证明类似(f)证明的后半部分。

(h)
对于任意开集V⊂E，x∈V则存在r满足B(x,r)⊆V⊆E，所以x是E的内点，x∈int(E)

对于任意闭集K，E⊆K，那么对于E的内点x，有x∈E⊆K，对于E的任意边界点x，根据命题12.2.10，存在E中序列xn收敛到x，由于这个序列也收敛到K，而K是闭的，那么x也必定属于K，这就证明了E的所有边界点也属于K，证明完成。

12.2.4
(a)反证法，如果对于某点c满足d(c,x0)>r，那么如果a=(d(c,x0)−r)/2，那么x∈B(c,a)有|x−x0|≥|c−x0|−|x−x0|≤d(c,x0)−a=(d(c,x0)+r)/2>r。所以C的补集是B的外点，所以B¯¯¯⊆C
(b)考虑X:[0,∞)∪{−1}，那么B(x0,r)=[0,1)，B¯¯¯=[0,1]，而C=[0,1]∪{−1}

12.3 相对拓扑

习题
12.3.1根据(a)和命题12.2.15(e)
E相对Y闭<->存在对于X的闭集K，E=K∩Y
=>
E关于Y相对闭，那么F=Y∖E相对Y开，那么根据(a)，对于X的某开集W，F=W∩Y，所以E=Y∖(W∩Y)=Y∩(X∖W)，这样我们就找到了相对于X的闭集X∖W
<=
如果对于X中某闭集K，E=K∩Y，那么W=X∖K是开的，那么Y∩(X∖K)是开的