hiho 1295 数论二·Eular质数筛法【线性筛】

描述

小Ho：小Hi，上次我学会了如何检测一个数是否是质数。于是我又有了一个新的问题，我如何去快速得求解[1,N]这个区间内素数的个数呢？

小Hi：你自己有什么想法么？

小Ho：有！我一开始的想法是，自然我们已经知道了如何快速判定一个数是否是质数，那么我就直接将[1,N]之间每一个数判定一次，就可以得到结果。但我发现这个方法太笨了。

小Hi：确实呢，虽然我们已经通过快速素数检测将每一次判定的时间复杂度降低，但是N个数字的话，总的时间复杂度依旧很高。

小Ho：是的，所以后来我改变了我的算法。我发现如果一个数p是质数的话，那么它的倍数一定都是质数。所以我建立了一个布尔类型的数组isPrime，初始化都为true。我从2开始枚举，当我找到一个isPrime[p]仍然为true时，可以确定p一定是一个质数。接着我再将N以内所有p的倍数全部设定为isPrime[p*i]=false。

写成伪代码为：

isPrime[] = trueprimeCount = 0For i = 2 .. NIf isPrime[i] ThenprimeCount = primeCount + 1multiple = 2While (i * multiple ≤ N)isPrime[i * multiple] = falsemultiple = multiple + 1End While End IfEnd For  

小Hi：小Ho你用的这个算法叫做Eratosthenes筛法，是一种非常古老的质数筛选算法。其时间复杂度为O(n log log n)。但是这个算法有一个冗余的地方：比如合数10，在枚举2的时候我们判定了一次，在枚举5的时候我们又判定了一次。因此使得其时间复杂度比O(n)要高。

小Ho：那有没有什么办法可以避免啊？

小Hi：当然有了，一个改进的方法叫做Eular筛法，其时间复杂度是O(n)的。

提示：Eular质数筛法

输入

第1行：1个正整数n，表示数字的个数，2≤n≤1,000,000。

输出

第1行：1个整数，表示从1到n中质数的个数

样例输入

9

样例输出

4

AC代码（模板）：

<strong><span style="font-size:12px;">#include <iostream>#include <stdio.h>using namespace std ;int isprime[1000000+10] ;int primelist[1000000+10] ;int eular(int n ){    int ans = 0 ;    for(int i  = 2 ; i <= n ; i++)    {        if(!isprime[i]) primelist[ans++] = i;        for(int j = 0 ; j < ans ; j++)        {            if(i*primelist[j] > n)  break;            isprime[i*primelist[j]] =  1;            if(i%primelist[j]==0) break;        }    }    return ans ;}int main(){    int n ;    scanf("%d",&n);    cout<<eular(n)<<endl;    return 0 ;}</span></strong>