找规律___zxa and set(hdu 5680 BestCoder Round #83)

问题描述

zxa有一个集合A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}A={a​1​​,a​2​​,⋯,a​n​​}，$n$表示集合$A$的元素个数，这个集合明显有(2^n-1)(2​n​​−1)个非空子集合。对于每个属于$A$的子集合B=\{b_1,b_2,\cdots,b_m\}(1\leq m\leq n)B={b​1​​,b​2​​,⋯,b​m​​}(1≤m≤n)，$m$表示集合$B$的元素个数，zxa定义它的价值是\min(b_1,b_2,\cdots,b_m)min(b​1​​,b​2​​,⋯,b​m​​)。zxa很好奇，如果令S_{odd}S​odd​​表示集合$A$的所有含奇数个元素的非空子集合的价值之和，S_{even}S​even​​表示集合$A$的所有含偶数个元素的非空子集合的价值之和，那么|S_{odd}-S_{even}|∣S​odd​​−S​even​​∣是多少，你能帮助他吗？

输入描述

第一行有一个正整数$T$，表示有$T$组数据。对于每组数据：第一行有一个正整数$n$，表示集合有$n$个元素。第二行有$n$个互异的正整数，表示集合的元素a_1,a_2,\cdots,a_na​1​​,a​2​​,⋯,a​n​​。每一行相邻数字之间只有一个空格。1\leq T\leq 100,1\leq n\leq 30,1\leq a_i\leq 10^91≤T≤100,1≤n≤30,1≤a​i​​≤10​9​​

输出描述

对于每组数据，输出一行，包含一个非负整数，表示|S_{odd}-S_{even}|∣S​odd​​−S​even​​∣的值。

输入样例

311031 2 341 2 3 4

输出样例

1034

Hint

对于第一组样例，$A=\{10\}$，它只有一个含奇数个元素的子集合$\{10\}$，没有含偶数个元素的子集合，所以S_{odd}=10,S_{even}=0,|S_{odd}-S_{even}|=10S​odd​​=10,S​even​​=0,∣S​odd​​−S​even​​∣=10。对于第二组样例，$A=\{1,2,3\}$，它有四个含奇数个元素的子集合$\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2,3\}$，有三个含偶数个元素的子集合$\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}$，所以S_{odd}=1+2+3+1=7,S_{even}=1+2+1=4,|S_{odd}-S_{even}|=3S​odd​​=1+2+3+1=7,S​even​​=1+2+1=4,∣S​odd​​−S​even​​∣=3

分析：其实这个题目看下题目数据都应该能猜出规律。就是输出为原来序列中最大那个数。

证明如下：

我们将一个序列从小到大排序后为 a1,a2,a3.....,an.那么其所有非空子集可以分为{an}和S.S包括了除{an}这个集合外其余所有非空子集。那么S中的集合就可以分为两类A,B。一类A是子集中包含an的，一类B是不包含an的。并且。这两类可以相互对应。也就是说A中的任意一个子集去掉an都能在B中找到相同的子集，并且B中任意一个子集加上an都能在A中找到相同子集。那么说明A,B两个集合包含的子集个数是相同的。并且相对应的两个子集大小奇偶不同(这个肯定了，一个子集要比另一个子集多一个，肯定是一奇一偶)。并且相对应的两个子集其贡献是相同的，因为都是min(子集)，所以相互抵消。那么S中的所有集合总贡献都相互抵消。那么所有非空子集就只剩下了{an}.那么答案就是an.

代码：

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int main(){    int t,n,ans;    cin >> t;    while(t--)    {        scanf("%d",&n);        ans = 0;        int a;        for(int i = 0 ;i < n ; i ++)        {            scanf("%d",&a);            if( a > ans) ans = a;        }        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}