动态规划之0-1背包问题

看了一些背包问题的资料，认为这个讲解比较容易理解。
首先介绍一下 动态规划

动态规划是解决最优化问题的。动态规划是把一个大问题分为若干性质相同的子问题，而这些子问题里面会有若干的重叠。然后我们就可以把求出来的子问题保存下来，以便后续直接利用。有点类似递推。

动态规划方法通常可按照以下几个步骤进行：
(1) 找出最优解的性质，并刻画其结构特征。
(2) 递归地定义最优解的值
(3) 以自底而上的方式计算出最优值
(4) 根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

规划过程的开始，也就是考虑的最后一步，就是边界。比如这里是否装第一个物品，边界就是是否已经装满

对于一个给定的问题，若具有以下两个性质，则可以考虑用动态规划法来求解。

(1) 最优子结构。如果一个问题的最优解中包含了其子问题的最优解，就说该问题具有最优子结构。当一个问题具有最优子结构时，提示我们动态规划法可能会适用，但是此时贪心策略可能也是适用的。

(2) 重叠子问题。指用来解原问题的递归算法可反复地解同样的子问题，而不是总在产生新的子问题。即当一个递归算法不断地调用同一个问题时，就说该问题包含重叠子问题。此时若用分治法递归求解，则每次遇到子问题都会视为新问题，会极大地降低算法的效率，而动态规划法总是充分利用重叠子问题，对于每个子问题仅计算一次，把解保存在一个在需要时就可以查看的表中，而每次查表的时间为常数。

　　问题：有n个物品，第i个物品价值为vi，重量为wi，其中vi和wi均为非负数，背包的容量为W，W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品，使装入背包的物品总价值最大。该问题以形式化描述如下：

目标函数为 ：
　　　　

约束条件为：
　　　　

　　满足约束条件的任一集合（x1，x2，…，xn）是问题的一个可行解，问题的目标是要求问题的一个最优解。考虑一个实例，假设n=5，W=17， 每个物品的价值和重量如表9-1所示。可将物品1，2和5装入背包，背包未满，获得价值22，此时问题解为你（1，1，0，0，1）。也可以将物品4和5装入背包，背包装满，获得价值24，此时解为（0，0，0，1，1）。

下面根据动态规划的4个步骤求解该问题。

(1) 刻画0-1背包问题的最优解的结构。
　　可以将背包问题的求解过程看作是进行一系列的决策过程，即决定哪些物品应该放入背包，哪些物品不放入背包。如果一个问题的最优解包含了物品n，即xn=1，那么其余x1，x2，…，x(n-1)一定构成子问题1，2，…，n-1在容量W-wn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n，即xn=0，那么其余x1，x2，…，x(n-1)一定构成子问题1，2，…，n-1在容量W时的最优解。　　

(2)递归定义最优解的值
　　根据上述分析的最优解的结构递归地定义问题最优解。设c[i,w]表示背包容量为w时，i个物品导致的最优解的总价值，得到下式。显然要求c[n,w]。

(3)计算背包问题最优解的值

代码：

    #include <iostream>      using namespace std;  /***   c[i][w]表示背包容量为w时，i个物品导致的最优解的总价值，大小为(n+1)*(w+1)   v[i]表示第i个物品的价值，大小为n   w[i]表示第i个物品的重量，大小为n   ***/        void DP(int n, int W, int c[][18], int *v, int *weight)      {           memset(*c, 0, (W+1)*sizeof(int));           for (int i = 1; i <= n; i++)           {              c[i][0] = 0;              for (int w = 1; w <= W; w++)              {                  if (weight[i-1] > w)    //此处比较是关键                  {                      c[i][w] = c[i-1][w];                  }                  else                  {                      int temp = c[i-1][w-weight[i-1]] + v[i-1];//注意weight和v数组中的第i个应该为weight[i-1]和v[i-1]                      if (c[i-1][w] > temp)                      {                          c[i][w] = c[i-1][w]; //                    }                      else                           c[i][w] = temp;                  }              }           }      }       void findPath(int c[][18], int *x, int *weight, int n, int W)      {             int w = W;          for (int i = n; i >= 2; i--)  //        {              if (c[i][w] == c[i-1][w])              {                  x[i-1] = 0;              }              else              {                  x[i-1] = 1;                  w = w - weight[i-1];              }          }          if (c[1][w] == 0)              x[0] = 0;          else              x[0] = 1;      }      int main()      {          int n = 5;          int W = 17;          int w[] = {3, 4, 7, 8, 9};          int v[] = {4, 5, 10, 11, 13};          int c[6][18] = {0};          cout<<"请输入背包的最大容量:"<<endl;          cin>>W;        cout<<"输入物品数:\n"<<endl;        cin>>n;        cout<<"请分别输入物品的重量:"<<endl;        for(int i=0;i<n;i++)        cin>>w[i];        cout<<"请分别输入物品的价值:"<<endl;        for(int i=0;i<n;i++)        cin>>v[i];        DP(n, W, c, v, w);          cout<<c[5][17]<<endl;  //最大价值        int x[5];          findPath(c, x, w, n, W);          for (int i = 0; i < n; i++)              cout<<x[i]<<" ";      }

转自：
http://blog.csdn.net/yeepom/article/details/8712224

关于动态规划，就是用空间换取时间，一般采取自顶向下的计算策略，如何进一步的优化空间效率是下一步学习的方向，动态规划与递归。。。

另外参考：
1. http://www.360doc.com/content/13/0601/00/8076359_289597587.shtml
2. http://blog.csdn.net/woshioosm/article/details/7438834