最长递增子序列

转自：http://blog.csdn.net/joylnwang/article/details/6766317

要求长度为i的序列的Ai{a1,a2,……,ai}最长递增子序列，需要先求出序列Ai-1{a1,a2,……,ai-1}中以各元素(a1,a2,……,ai-1)作为最大元素的最长递增序列，然后把所有这些递增序列与ai比较，如果某个长度为m序列的末尾元素aj(j<i)比ai要小，则将元素ai加入这个递增子序列，得到一个新的长度为m+1的新序列，否则其长度不变，将处理后的所有i个序列的长度进行比较，其中最长的序列就是所求的最长递增子序列。举例说明，对于序列A{35, 36, 39, 3, 15, 27, 6, 42}当处理到第九个元素(27)时，以35， 36， 39， 3， 15， 27， 6为最末元素的最长递增序列分别为
    35
    35，36
    35，36，39
    3
    3，15
    3，15，27
    3，6
当新加入第10个元素42时，这些序列变为
    35，42
    35，36，42
    35，36，39，42，
    3，42
    3，15，42
    3，15，27，42
    3，6，42

这其中最长的递增序列为(35，36，39，42)和(3，15，27，42)，所以序列A的最长递增子序列的长度为4，同时在A中长度为4的递增子序列不止一个。

该算法的思想十分简单，如果要得出Ai序列的最长递增子序列，就需要计算出Ai-1的所有元素作为最大元素的最长递增序列，依次递推Ai-2，Ai-3，……，将此过程倒过来，即可得到递推算法，依次推出A1，A2，……，直到推出Ai为止，

代码如下

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1. unsigned int LISS(const int array[], size_t length, int result[])  
2. {  
3.     unsigned int i, j, k, max;  
4.   
5.     //变长数组参数，C99新特性，用于记录当前各元素作为最大元素的最长递增序列长度  
6.     unsigned int liss[length];  
7.   
8.     //前驱元素数组，记录当前以该元素作为最大元素的递增序列中该元素的前驱节点，用于打印序列用  
9.     unsigned int pre[length];  
10.   
11.     for(i = 0; i < length; ++i)  
12.     {  
13.         liss[i] = 1;  
14.         pre[i] = i;  
15.     }  
16.   
17.     for(i = 1, max = 1, k = 0; i < length; ++i)  
18.     {  
19.         //找到以array[i]为最末元素的最长递增子序列  
20.         for(j = 0; j < i; ++j)  
21.         {  
22.             //如果要求非递减子序列只需将array[j] < array[i]改成<=，  
23.             //如果要求递减子序列只需改为>  
24.             if(array[j] < array[i] && liss[j] + 1> liss[i])  
25.             {  
26.                 liss[i] = liss[j] + 1;  
27.                 pre[i] = j;  
28.   
29.                 //得到当前最长递增子序列的长度，以及该子序列的最末元素的位置  
30.                 if(max < liss[i])  
31.                 {  
32.                     max = liss[i];  
33.                     k = i;  
34.                 }  
35.             }  
36.         }  
37.     }  
38.   
39.     //输出序列  
40.     i = max - 1;  
41.   
42.     while(pre[k] != k)  
43.     {  
44.         result[i--] = array[k];  
45.         k = pre[k];  
46.     }  
47.   
48.     result[i] = array[k];  
49.   
50.     return max;  
51. }  

该函数计算出长度为length的array的最长递增子序列的长度，作为返回值返回，实际序列保存在result数组中，该函数中使用到了C99变长数组参数特性（这个特性比较赞），不支持C99的同学们可以用malloc来申请函数里面的两个数组变量。函数的时间复杂度为O(nn)