关于“进制之间的转换”问题的分析指导

 

1。二进制与十进制数间的转换

（1）二进制转换为十进制

将每个二进制数按权展开后求和即可。请看例题：

把二进制数（101.101）2=1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3=（5.625）10

（2）十进制转换为二进制

一般需要将十进制数的整数部分与小数部分分开处理。

整数部分计算方法：除2取余法 请看例题：

十进制数（53）10的二进制值为（110101）2

小数部分计算方法：乘2取整法，即每一步将十进制小数部分乘以2，所得积的小数点左边的数字（0或1）作为二进制表示法中的数字，第一次乘法所得的整数部分为最高位。请看例题：

将（0.5125）10转换成二进制。（0.5125）10=（0.101）2

附：

1。 十进制

十进制使用十个数字（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）记数，基数为10，逢十进一。

历史上第一台电子数字计算机ENIAC是一台十进制机器，其数字以十进制表示，并以十进制形式运算。设计十进制机器比设计二进制机器复杂得多。而自然界具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关，电路的通和断，电压的高和低等，非常适合表示计算机中的数。设计过程简单，可靠性高。因此，现在改为二进制计算机。

2。 二进制

二进制以2为基数，只用0和1两个数字表示数，逢2进一。

二进制与遵循十进制数遵循一样的运算规则，但显得比十进制更简单。例如：

（1）加法：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0

（2）减法：0-0=0 1-1=0 1-0=1 0-1=1

（3）乘法：0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

（4）除法：0/1=0 1/1=1，除数不能为0

3。 八进制

所谓八进制，就是其基数为8，基数值可以取0、1、2、3、4、5、6、7共8个值，逢八进一。

八进制与十进制运算规则一样。那么为什么要用八进制呢？难道要设计八进制的计算机么？实际上，八进制与十六进制的引用，主要是为了书写和表示方便，因为二进制表示位数比较长。如：（1024）10 用二进制表示为 （10000000000）2，共有11个数字，用八进制表示为（2000）8。更重要的是，由于二进制与八进制存在在一种对等关系，每三位二进制与一位八进制数完全对等（23=8）。所以二进制和十进制在运算上无区别，而时进制不具备这一优点。

4。 十六进制

十六进制应用也是非常广泛的一种计数制。在使用者看来，十六进制是二进制数的一种更加紧凑的一种表示方法。

基数为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，逢十进一。在十六进制系统中，数值为10到15的数分别用A、B、C、D、E、F表示。

二进制数及与之等值的八进制、十进制和十六进制数

二进制 八进制 十进制 十六进制
0000            0             0               0
0001           1           1               1
0010           2            2                 2
0011           3            3                3
0100           4           4                4         
0101           5          5                 5
0110           6            6                 6
0111           7            7               7
1000           10         8                8
1001           11         9                9          
1010           12          10             A
1011           13          11              B
1100           14           12              C
1101           15          13               D
1110           16           14               E
1111           17         15              F

二。进制转换

1。二进制与十进制数间的转换

（1）二进制转换为十进制

将每个二进制数按权展开后求和即可。请看例题：

把二进制数（101.101）2=1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3=（5.625）10

（2）十进制转换为二进制

一般需要将十进制数的整数部分与小数部分分开处理。

整数部分计算方法：除2取余法 请看例题：

十进制数（53）10的二进制值为（110101）2

小数部分计算方法：乘2取整法，即每一步将十进制小数部分乘以2，所得积的小数点左边的数字（0或1）作为二进制表示法中的数字，第一次乘法所得的整数部分为最高位。请看例题：

将（0.5125）10转换成二进制。（0.5125）10=（0.101）2

2。 八进制、十六进制与十六进制间的转换

八进制、十六进制与十六进制之间的转换方法与二进制，同十进制之间的转换方法类似。例如：

（73）8=7*81+3=（59）10

（0.56）8=5*8-1+6*8-2=(0.71875)10

(12A)16=1*162+2*161+A*160=(298)10

(0.3C8)16=3*16-1+12*16-2+8*16-3=(0.142578125)10

十进制整数→→→→→八进制 方法：“除8取余”

十进制整数→→→→→十六进制 方法：“除16取余” 例如：

（171）10=（253）8

（2653）10=（A5D）16

十进制小数→→→→→八进制小数 方法：“乘8取整”

十进制小数→→→→→十六进制小数 方法：“乘16取整” 例如：

（0。71875）10=（0.56）8

(0.142578125)10=(0.3C8)16

3. 非十进制数之间的转换

（1）二进制数与八进制数之间的转换

转换方法是：以小数点为界，分别向左右每三位二进制数合成一位八进制数，或每一位八进制数展成三位二进制数，不足三位者补0。例如：

（423。45）8=（100 010 011.100 101）2

（1001001.1101）2=（001 001 001.110 100）2=（111.64）8

2。二进制与十六进制转换

转换方法：以小数点为界，分别向左右每四位二进制合成一位十六进制数，或每一位十六进制数展成四位二进制数，不足四位者补0。例如：

（ABCD。EF）16=（1010 1011 1100 1101.1110 1111）2

（101101101001011.01101）2=（0101 1011 0100 1011.0110 1000）2=（5B4B。68）16

在计算机文化一书中，在其中一个章节里面详细介绍了进制之间的转换，而且在考试中进制转换也占了一定的比例，虽然分数不是很多，但是因为平时大家接触的不多，并且有点繁复，所以很多学员在做这种题目，要么选择猜答案，要么选择放弃。笔者觉得只要掌握了方法，其实这些题目也很简单的，下面我就对进制的转换进行具体的分析和讲解，以供大家参考。
在书主中一共提到了四种进制，分别是二进制、八进制、十进制、十六进制，而八进制和十六进制是从二进制衍生而来的，八进制和十六进制类似。因此，我们可以将进制分成三大部分，即十进制、二进制、八和十六进制之间相互换算，如图。

一、 十进制与二进制之间的转换
（1） 十进制转换为二进制，分为整数部分和小数部分
① 整数部分
方法：除2取余法，即每次将整数部分除以2，余数为该位权上的数，而商继续除以2，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数。下面举例：
例：将十进制的168转换为二进制

得出结果 将十进制的168转换为二进制，（10101000）2
分析:第一步，将168除以2,商84,余数为0。
第二步，将商84除以2，商42余数为0。
第三步，将商42除以2，商21余数为0。
第四步，将商21除以2，商10余数为1。
第五步，将商10除以2，商5余数为0。
第六步，将商5除以2，商2余数为1。
第七步，将商2除以2，商1余数为0。
第八步，将商1除以2，商0余数为1。
第九步，读数，因为最后一位是经过多次除以2才得到的，因此它是最高位，读数字从最后的余数向前读，即10101000

（2） 小数部分
方法：乘2取整法，即将小数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以2，一直取到小数部分
为零为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，按照要求保留多少位小数时，就根据后面一位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。换句话说就是0舍1入。读数要从前面的整数读到后面的整数，下面举例：
例1：将0.125换算为二进制

得出结果：将0.125换算为二进制（0.001）2
分析：第一步，将0.125乘以2，得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25;
第二步, 将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5;
第三步, 将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0;
第四步,读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。

例2,将0.45转换为二进制（保留到小数点第四位）

0.45乘以2乘以2等于0.9，取整数部分0

0.9乘以2等于1.8，取整数部分1（1.8减去整数部分1等于0.8，然后再继续乘以2）

0.8乘以2等于1.6，取整数部分1

0.6乘以2等于1.2，取整数部分1

0.2乘以2等于0.4，取整数部分0

....................................

大家从上面步骤可以看出，当第五次做乘法时候，得到的结果是0.4，那么小数部分继续乘以2，得0.8，0.8又乘以2的，到1.6这样一直乘下去，最后不可能得到小数部分为零，因此，这个时候只好学习十进制的方法进行四舍五入了，但是二进制只有0和1两个，于是就出现0舍1入。这个也是计算机在转换中会产生误差，但是由于保留位数很多，精度很高，所以可以忽略不计。
那么，我们可以得出结果将0.45转换为二进制约等于0.0111
上面介绍的方法是十进制转换为为二进制的方法，需要大家注意的是：
1） 十进制转换为二进制，需要分成整数和小数两个部分分别转换
2） 当转换整数时，用的除2取余法，而转换小数时候，用的是乘2取整法
3） 注意他们的读数方向
因此，我们从上面的方法，我们可以得出十进制数168.125转换为二进制为10101000.001,或者十进制数转换为二进制数约等于10101000.0111。

（3） 二进制转换为十进制 不分整数和小数部分
方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权，然后相加之和即是十进制数。例
将二进制数101.101转换为十进制数。

得出结果：（101.101）2=(5.625)10
大家在做二进制转换成十进制需要注意的是
1） 要知道二进制每位的权值
2） 要能求出每位的值

二、 二进制与八进制之间的转换
首先，我们需要了解一个数学关系，即2的3次方=8，2的4次方=16，而八进制和十六进制是用这
关系衍生而来的，即用三位二进制表示一位八进制，用四位二进制表示一位十六进制数。
接着，记住4个数字8、4、2、1（23=8、22=4、21=2、20=1）。现在我们来练习二进制与八进制之间的转换。
（1） 二进制转换为八进制
方法：取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每三位取成一位，接着将这三位二进制按权相加，得到的数就是一位八位二进制数，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足三位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足三位。例
①将二进制数101110.101转换为八进制

得到结果：将101110.101转换为八进制为56.5

② 将二进制数1101.1转换为八进制

得到结果：将1101.1转换为八进制为15.4

（2） 将八进制转换为二进制
方法：取一分三法，即将一位八进制数分解成三位二进制数，用三位二进制按权相加去凑这位八进制数，小数点位置照旧。例：
① 将八进制数67.54转换为二进制

因此，将八进制数67.54转换为二进制数为110111.101100，即110111.1011
大家从上面这道题可以看出，计算八进制转换为二进制
首先，将八进制按照从左到右，每位展开为三位，小数点位置不变
然后，按每位展开为22，21，20（即4、2、1）三位去做凑数，即a×22+ b×21 +c×20=该位上的数（a=1或者a=0，b=1或者b=0，c=1或者c=0）,将abc排列就是该位的二进制数
接着，将每位上转换成二进制数按顺序排列
最后，就得到了八进制转换成二进制的数字。
以上的方法就是二进制与八进制的互换，大家在做题的时候需要注意的是
1） 他们之间的互换是以一位与三位转换，这个有别于二进制与十进制转换
2） 大家在做添0和去0的时候要注意，是在小数点最左边或者小数点的最右边（即整数的最高位和小数的最低位）才能添0或者去0，否则将产生错误

三、 二进制与十六进制的转换
方法：与二进制与八进制转换相似，只不过是一位（十六）与四位（二进制）的转换，下面具体讲解
（1） 二进制转换为十六进制
方法：取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每四位取成一位，接着将这四位二进制按权相加，得到的数就是一位十六位二进制数，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左（向右）取四位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足四位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足四位。
①例：将二进制11101001.1011转换为十六进制

得到结果：将二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B

② 例：将101011.101转换为十六进制

因此得到结果：将二进制101011.101转换为十六进制为2B.A

 

(2)将十六进制转换为二进制
方法：取一分四法，即将一位十六进制数分解成四位二进制数，用四位二进制按权相加去凑这位十六进制数，小数点位置照旧。
①将十六进制6E.2转换为二进制数

因此得到结果：将十六进制6E.2转换为二进制为01101110.0010即110110.001

四、八进制与十六进制的转换
方法：一般不能互相直接转换，一般是将八进制（或十六进制）转换为二进制，然后再将二进制转换为十六进制（或八进制），小数点位置不变。那么相应的转换请参照上面二进制与八进制的转换和二进制与十六进制的转换

五、八进制与十进制的转换
（1）八进制转换为十进制
方法：按权相加法，即将八进制每位上的数乘以位权，然后相加之和即是十进制数。
例：①将八进制数67.35转换为十进制

6乘以8的一次方加上7乘以8的0次方加上3乘以8的-1次方加上5乘以8的-2次方

最后就等于55.453125

（2）十进制转换为八进制
十进制转换成八进制有两种方法：
1）间接法：先将十进制转换成二进制，然后将二进制又转换成八进制
2）直接法：前面我们讲过，八进制是由二进制衍生而来的，因此我们可以采用与十进制转换为二进制相类似的方法，还是整数部分的转换和小数部分的转换：
①整数部分
方法：除8取余法，即每次将整数部分除以8，余数为该位权上的数，而商继续除以8，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数起，一直到最前面的一个余数。
②小数部分
方法：乘8取整法，即将小数部分乘以8，然后取整数部分，剩下的小数部分继续乘以8，然后取整数部分，剩下的小数部分又乘以8，一直取到小数部分为零为止。如果永远不能为零，就同十进制数的四舍五入一样，暂取个名字叫3舍4入。

六、十六进制与十进制的转换
十六进制与八进制有很多相似之处，可以参照上面八进制与十进制的转换自己试试这两个进制之间的转换。 也和十进制与二进制的转换一样一样的

八进制和16进制的转换：

例如：将八进制数（5452。657）8转成十六进制数

方法1：把八进制数转成十进制数，然后再把这个十进制数转成十六进制数

方法二：把八进制数转成二进制数，然后再把这个二进制数转成十六进制数

我们讨论方法二：

将（5452.657）8转成二进制，根据前面讲的，用8 4 2 1 分析法

八进制数是用三个二进制位表示的

（5      4       5     2    。   6        5      7）8（这个数是八进制数，不是十进制数，因为有括号，

                                                                   并且明确标明是 8 ，十进制数不能这么转换成二进制）

101 100 101 010 。 110 101 111

然后再把这个数转成十六进制

以小数点为分界，小数点左边从右到左每四位为一组，一直到最左边如果不够4位了就补0，小数点右边从

左到右每四位一组，到最右边不够四位就补0

101 100 101 010 。 110     101     111，分组后的结果就是

1011 0010 1010   。 1101    0111   1000

然后再根据十六进制的8 4 2 1 的方法把这6组四位的二进制数转成6个十六进制数：

B        2        A         。   D        7          8

结果就是（B2A.D78）16

所以：（5452.657）8就等于（B2A.D78）16