java动态规划 实现输出最大公共子序列的长度以及输出最大子字符串
来源:互联网 发布:蜀道难 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/08 09:38
参考博客地址:http://blog.csdn.net/biangren/article/details/8038605
动态规划法
分治法是指将问题划分成一些独立的子问题,递归地求解各子问题,然后合并子问题的解而得到原问题的解。然而经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题,而会分解出一系列的子问题,也就是各子问题包含公共的子子问题。若简单地采用把大问题分解成子问题,并综合子问题的解导出大问题的解的方法,问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。动态规划方法对每个子子问题只求解一次,将其结果保存在一张表中,从【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列
问题描述:字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地(不一定连续)去掉若干个字符(可能一个也不去掉)后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0,x1,…,xm-1”,序列Y=“y0,y1,…,yk-1”是X的子序列,存在X的一个严格递增下标序列<i0,i1,…,ik-1>,使得对所有的j=0,1,…,k-1,有xij=yj。例如,X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题,设A=“a0,a1,…,am-1”,B=“b0,b1,…,bm-1”,并Z=“z0,z1,…,zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质:
(1) 如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,…,zk-2”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列;
(2) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,意味着“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列;
(3) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=bn-1,意味着“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列。
这样,在找A和B的公共子序列时,如有am-1=bn-1,则进一步解决一个子问题,找“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bm-2”的一个最长公共子序列;如果am-1!=bn-1,则要解决两个子问题,找出“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列,再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。而避免每次遇到各个子问题时重新计算答案。
求解:
引进一个二维数组c[][],用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度,b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算,那么在计算c[i,j]之前,c[i-1][j-1],c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j],就可以计算出c[i][j]。
引进一个二维数组c[][],用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度,b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算,那么在计算c[i,j]之前,c[i-1][j-1],c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j],就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成:
回溯输出最长公共子序列过程:
算法分析:
由于每次调用至少向上或向左(或向上向左同时)移动一步,故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况,此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反,步数相同,故算法时间复杂度为Θ(m +n)。
由于每次调用至少向上或向左(或向上向左同时)移动一步,故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况,此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反,步数相同,故算法时间复杂度为Θ(m +n)。
Java实现具体代码如下:
public class LCS {public static void main(String[] args) {String str1 = "ABCBDAB";String str2 = "BDCABA";System.out.println(getMaxSubstringLen(str1, str2));int[][] b = getTrace(str1, str2);String sMax = str1.length() > str2.length() ? str1 : str2; // 选择最长的串,因为要取出最大子串String sMin = str1.length() < str2.length() ? str1 : str2; // 选择最小的串print(b, sMax, sMax.length(), sMin.length());}public static int getMaxSubstringLen(String x, String y) {int xLen = x.length() + 1;int yLen = y.length() + 1;int rLen = xLen > yLen ? xLen : yLen;int cLen = xLen < yLen ? xLen : yLen;int[][] c = new int[rLen][cLen];for (int i = 1; i < rLen; i++) {for (int j = 1; j < cLen; j++) {if (x.charAt(i - 1) == y.charAt(j - 1)) {c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;} else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {c[i][j] = c[i - 1][j];} else {c[i][j] = c[i][j - 1];}}}return c[xLen - 1][yLen - 1];}public static int[][] getTrace(String x, String y) {int xLen = x.length() + 1;int yLen = y.length() + 1;int rLen = xLen > yLen ? xLen : yLen;int cLen = xLen < yLen ? xLen : yLen;int[][] c = new int[rLen][cLen];int[][] b = new int[rLen][cLen];for (int i = 1; i < rLen; i++) {for (int j = 1; j < cLen; j++) {if (x.charAt(i - 1) == y.charAt(j - 1)) {c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;b[i][j] = 2;} else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {c[i][j] = c[i - 1][j];b[i][j] = -1;} else {c[i][j] = c[i][j - 1];b[i][j] = 0;}}}return b;}// 递归实现回溯,然后打印出最长公共子序列(不连续子序列)public static void print(int[][] b, String s, int i, int j) {// 递归终止条件if (i == 0 || j == 0) {return;}if (b[i][j] == 2) {print(b, s, i - 1, j - 1);System.out.print(s.charAt(i - 1) + " ");} else if (b[i][j] == -1) {print(b, s, i - 1, j);} else if (b[i][j] == 0) {print(b, s, i, j - 1);}}}
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