数据结构之AVL树

AVL树是高度平衡的而二叉树。它的特点是：AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。

旋转

如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态：LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图：

1) LL：LeftLeft，也称为”左左”。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的左子树还有非空子节点，导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面LL情况中，由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点”，而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”；导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

(2) LR：LeftRight，也称为”左右”。插入或删除一个节点后，根节点的左子树的右子树还有非空子节点，导致”根的左子树的高度”比”根的右子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面LR情况中，由于”根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点”，而”根节点(8)的右子树(12)没有子节点”；导致”根节点(8)的左子树(4)高度”比”根节点(8)的右子树(12)”高2。

(3) RL：RightLeft，称为”右左”。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的左子树还有非空子节点，导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面RL情况中，由于”根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点”，而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”；导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

(4) RR：RightRight，称为”右右”。插入或删除一个节点后，根节点的右子树的右子树还有非空子节点，导致”根的右子树的高度”比”根的左子树的高度”大2，导致AVL树失去了平衡。
例如，在上面RR情况中，由于”根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点”，而”根节点(8)的左子树(4)没有子节点”；导致”根节点(8)的右子树(12)高度”比”根节点(8)的左子树(4)”高2。

前面说过，如果在AVL树中进行插入或删除节点后，可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后，可以通过旋转使其恢复平衡，下面分别介绍”LL(左左)，LR(左右)，RR(右右)和RL(右左)”这4种情况对应的旋转方法。

2.1 LL的旋转

LL失去平衡的情况，可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图：

/* * LL：左左对应的情况(左单旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2){    AVLTreeNode<T>* k1;    k1 = k2->left;    k2->left = k1->right;    k1->right = k2;    k2->height = max( height(k2->left), height(k2->right)) + 1;    k1->height = max( height(k1->left), k2->height) + 1;    return k1;}

2.2 RR的旋转

理解了LL之后，RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况！RR恢复平衡的旋转方法如下：

/* * RR：右右对应的情况(右单旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1){    AVLTreeNode<T>* k2;    k2 = k1->right;    k1->right = k2->left;    k2->left = k1;    k1->height = max( height(k1->left), height(k1->right)) + 1;    k2->height = max( height(k2->right), k1->height) + 1;    return k2;}

2.3 LR的旋转

LR失去平衡的情况，需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图：

/* * LR：左右对应的情况(左双旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3){    k3->left = rightRightRotation(k3->left);    return leftLeftRotation(k3);}

2.4 RL的旋转

RL是与LR的对称情况！RL恢复平衡的旋转方法如下：

/* * RL：右左对应的情况(右双旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1){    k1->right = leftLeftRotation(k1->right);    return rightRightRotation(k1);}

完整代码

#ifndef _AVL_TREE_HPP_#define _AVL_TREE_HPP_#include <iomanip>#include <iostream>using namespace std;template <class T>class AVLTreeNode{    public:        T key;                // 关键字(键值)        int height;         // 高度        AVLTreeNode *left;    // 左孩子        AVLTreeNode *right;    // 右孩子        AVLTreeNode(T value, AVLTreeNode *l, AVLTreeNode *r):            key(value), height(0),left(l),right(r) {}};template <class T>class AVLTree {    private:        AVLTreeNode<T> *mRoot;    // 根结点    public:        AVLTree();        ~AVLTree();        // 获取树的高度        int height();        // 获取树的高度        int max(int a, int b);        // 前序遍历"AVL树"        void preOrder();        // 中序遍历"AVL树"        void inOrder();        // 后序遍历"AVL树"        void postOrder();        // (递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点        AVLTreeNode<T>* search(T key);        // (非递归实现)查找"AVL树"中键值为key的节点        AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(T key);        // 查找最小结点：返回最小结点的键值。        T minimum();        // 查找最大结点：返回最大结点的键值。        T maximum();        // 将结点(key为节点键值)插入到AVL树中        void insert(T key);        // 删除结点(key为节点键值)        void remove(T key);        // 销毁AVL树        void destroy();        // 打印AVL树        void print();    private:        // 获取树的高度        int height(AVLTreeNode<T>* tree) ;        // 前序遍历"AVL树"        void preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;        // 中序遍历"AVL树"        void inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;        // 后序遍历"AVL树"        void postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const;        // (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点        AVLTreeNode<T>* search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;        // (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点        AVLTreeNode<T>* iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const;        // 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。        AVLTreeNode<T>* minimum(AVLTreeNode<T>* tree);        // 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。        AVLTreeNode<T>* maximum(AVLTreeNode<T>* tree);        // LL：左左对应的情况(左单旋转)。        AVLTreeNode<T>* leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2);        // RR：右右对应的情况(右单旋转)。        AVLTreeNode<T>* rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1);        // LR：左右对应的情况(左双旋转)。        AVLTreeNode<T>* leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3);        // RL：右左对应的情况(右双旋转)。        AVLTreeNode<T>* rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1);        // 将结点(z)插入到AVL树(tree)中        AVLTreeNode<T>* insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key);        // 删除AVL树(tree)中的结点(z)，并返回被删除的结点        AVLTreeNode<T>* remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z);        // 销毁AVL树        void destroy(AVLTreeNode<T>* &tree);        // 打印AVL树        void print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction);};/*  * 构造函数 */template <class T>AVLTree<T>::AVLTree():mRoot(NULL){}/*  * 析构函数 */template <class T>AVLTree<T>::~AVLTree() {    destroy(mRoot);}/* * 获取树的高度 */template <class T>int AVLTree<T>::height(AVLTreeNode<T>* tree) {    if (tree != NULL)        return tree->height;    return 0;}template <class T>int AVLTree<T>::height() {    return height(mRoot);}/* * 比较两个值的大小 */template <class T>int AVLTree<T>::max(int a, int b) {    return a>b ? a : b;}/* * 前序遍历"AVL树" */template <class T>void AVLTree<T>::preOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const{    if(tree != NULL)    {        cout<< tree->key << " " ;        preOrder(tree->left);        preOrder(tree->right);    }}template <class T>void AVLTree<T>::preOrder() {    preOrder(mRoot);}/* * 中序遍历"AVL树" */template <class T>void AVLTree<T>::inOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const{    if(tree != NULL)    {        inOrder(tree->left);        cout<< tree->key << " " ;        inOrder(tree->right);    }}template <class T>void AVLTree<T>::inOrder() {    inOrder(mRoot);}/* * 后序遍历"AVL树" */template <class T>void AVLTree<T>::postOrder(AVLTreeNode<T>* tree) const{    if(tree != NULL)    {        postOrder(tree->left);        postOrder(tree->right);        cout<< tree->key << " " ;    }}template <class T>void AVLTree<T>::postOrder() {    postOrder(mRoot);}/* * (递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::search(AVLTreeNode<T>* x, T key) const{    if (x==NULL || x->key==key)        return x;    if (key < x->key)        return search(x->left, key);    else        return search(x->right, key);}template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::search(T key) {    return search(mRoot, key);}/* * (非递归实现)查找"AVL树x"中键值为key的节点 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::iterativeSearch(AVLTreeNode<T>* x, T key) const{    while ((x!=NULL) && (x->key!=key))    {        if (key < x->key)            x = x->left;        else            x = x->right;    }    return x;}template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::iterativeSearch(T key){    return iterativeSearch(mRoot, key);}/*  * 查找最小结点：返回tree为根结点的AVL树的最小结点。 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::minimum(AVLTreeNode<T>* tree){    if (tree == NULL)        return NULL;    while(tree->left != NULL)        tree = tree->left;    return tree;}template <class T>T AVLTree<T>::minimum(){    AVLTreeNode<T> *p = minimum(mRoot);    if (p != NULL)        return p->key;    return (T)NULL;}/*  * 查找最大结点：返回tree为根结点的AVL树的最大结点。 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::maximum(AVLTreeNode<T>* tree){    if (tree == NULL)        return NULL;    while(tree->right != NULL)        tree = tree->right;    return tree;}template <class T>T AVLTree<T>::maximum(){    AVLTreeNode<T> *p = maximum(mRoot);    if (p != NULL)        return p->key;    return (T)NULL;}/* * LL：左左对应的情况(左单旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k2){    AVLTreeNode<T>* k1;    k1 = k2->left;    k2->left = k1->right;    k1->right = k2;    k2->height = max( height(k2->left), height(k2->right)) + 1;    k1->height = max( height(k1->left), k2->height) + 1;    return k1;}/* * RR：右右对应的情况(右单旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightRightRotation(AVLTreeNode<T>* k1){    AVLTreeNode<T>* k2;    k2 = k1->right;    k1->right = k2->left;    k2->left = k1;    k1->height = max( height(k1->left), height(k1->right)) + 1;    k2->height = max( height(k2->right), k1->height) + 1;    return k2;}/* * LR：左右对应的情况(左双旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* k3){    k3->left = rightRightRotation(k3->left);    return leftLeftRotation(k3);}/* * RL：右左对应的情况(右双旋转)。 * * 返回值：旋转后的根节点 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* k1){    k1->right = leftLeftRotation(k1->right);    return rightRightRotation(k1);}/*  * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点 * * 参数说明： *     tree AVL树的根结点 *     key 插入的结点的键值 * 返回值： *     根节点 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &tree, T key){    if (tree == NULL)     {        // 新建节点        tree = new AVLTreeNode<T>(key, NULL, NULL);        if (tree==NULL)        {            cout << "ERROR: create avltree node failed!" << endl;            return NULL;        }    }    else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况    {        tree->left = insert(tree->left, key);        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。        if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2)        {            if (key < tree->left->key)                tree = leftLeftRotation(tree);            else                tree = leftRightRotation(tree);        }    }    else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况    {        tree->right = insert(tree->right, key);        // 插入节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。        if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2)        {            if (key > tree->right->key)                tree = rightRightRotation(tree);            else                tree = rightLeftRotation(tree);        }    }    else //key == tree->key)    {        cout << "添加失败：不允许添加相同的节点！" << endl;    }    tree->height = max( height(tree->left), height(tree->right)) + 1;    return tree;}template <class T>void AVLTree<T>::insert(T key){    insert(mRoot, key);}/*  * 删除结点(z)，返回根节点 * * 参数说明： *     tree AVL树的根结点 *     z 待删除的结点 * 返回值： *     根节点 */template <class T>AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::remove(AVLTreeNode<T>* &tree, AVLTreeNode<T>* z){    // 根为空 或者 没有要删除的节点，直接返回NULL。    if (tree==NULL || z==NULL)        return NULL;    if (z->key < tree->key)        // 待删除的节点在"tree的左子树"中    {        tree->left = remove(tree->left, z);        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。        if (height(tree->right) - height(tree->left) == 2)        {            AVLTreeNode<T> *r =  tree->right;            if (height(r->left) > height(r->right))                tree = rightLeftRotation(tree);            else                tree = rightRightRotation(tree);        }    }    else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中    {        tree->right = remove(tree->right, z);        // 删除节点后，若AVL树失去平衡，则进行相应的调节。        if (height(tree->left) - height(tree->right) == 2)        {            AVLTreeNode<T> *l =  tree->left;            if (height(l->right) > height(l->left))                tree = leftRightRotation(tree);            else                tree = leftLeftRotation(tree);        }    }    else    // tree是对应要删除的节点。    {        // tree的左右孩子都非空        if ((tree->left!=NULL) && (tree->right!=NULL))        {            if (height(tree->left) > height(tree->right))            {                // 如果tree的左子树比右子树高；                // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点                //   (02)将该最大节点的值赋值给tree。                //   (03)删除该最大节点。                // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。                AVLTreeNode<T>* max = maximum(tree->left);                tree->key = max->key;                tree->left = remove(tree->left, max);            }            else            {                // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)                // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点                //   (02)将该最小节点的值赋值给tree。                //   (03)删除该最小节点。                // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；                // 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。                AVLTreeNode<T>* min = maximum(tree->right);                tree->key = min->key;                tree->right = remove(tree->right, min);            }        }        else        {            AVLTreeNode<T>* tmp = tree;            tree = (tree->left!=NULL) ? tree->left : tree->right;            delete tmp;        }    }    return tree;}template <class T>void AVLTree<T>::remove(T key){    AVLTreeNode<T>* z;     if ((z = search(mRoot, key)) != NULL)        mRoot = remove(mRoot, z);}/*  * 销毁AVL树 */template <class T>void AVLTree<T>::destroy(AVLTreeNode<T>* &tree){    if (tree==NULL)        return ;    if (tree->left != NULL)        destroy(tree->left);    if (tree->right != NULL)        destroy(tree->right);    delete tree;}template <class T>void AVLTree<T>::destroy(){    destroy(mRoot);}/* * 打印"二叉查找树" * * key        -- 节点的键值  * direction  --  0，表示该节点是根节点; *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子; *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。 */template <class T>void AVLTree<T>::print(AVLTreeNode<T>* tree, T key, int direction){    if(tree != NULL)    {        if(direction==0)    // tree是根节点            cout << setw(2) << tree->key << " is root" << endl;        else                // tree是分支节点            cout << setw(2) << tree->key << " is " << setw(2) << key << "'s "  << setw(12) << (direction==1?"right child" : "left child") << endl;        print(tree->left, tree->key, -1);        print(tree->right,tree->key,  1);    }}template <class T>void AVLTree<T>::print(){    if (mRoot != NULL)        print(mRoot, mRoot->key, 0);}#endif

测试代码

/** * C 语言: AVL树 * * @author skywang * @date 2013/11/07 */#include <iostream>#include "start.h"using namespace std;static int arr[]= {3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9};#define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )int main(){    int i,ilen;    AVLTree<int>* tree=new AVLTree<int>();    cout << "== 依次添加: ";    ilen = TBL_SIZE(arr);    for(i=0; i<ilen; i++)    {        cout << arr[i] <<" ";        tree->insert(arr[i]);    }    cout << "\n== 前序遍历: ";    tree->preOrder();    cout << "\n== 中序遍历: ";    tree->inOrder();    cout << "\n== 后序遍历: ";    tree->postOrder();    cout << endl;    cout << "== 高度: " << tree->height() << endl;    cout << "== 最小值: " << tree->minimum() << endl;    cout << "== 最大值: " << tree->maximum() << endl;    cout << "== 树的详细信息: " << endl;    tree->print();    i = 8;    cout << "\n== 删除根节点: " << i;    tree->remove(i);    cout << "\n== 高度: " << tree->height() ;    cout << "\n== 中序遍历: " ;    tree->inOrder();    cout << "\n== 树的详细信息: " << endl;    tree->print();    // 销毁二叉树    tree->destroy();    system("pause");    return 0;}

References

AVL树(二)之 C++的实现 - 如果天空不死 - 博客园

效果如下