codeforces Devu and Flowers 母函数 容斥 dp

一种做法没见过

一种做法脑洞太大，没想到

做法1：容斥+费马小定理+lucas+壮压dp

前面都是套路，难的是壮压dp的状态

这道题倒着想

将个数为s的相同的球放入n个盒子中有多少中放法(盒子不同，盒子里面可以为空

如果我们不考虑盒子球的个数限制 那么答案就是c(s+n-1,n-1)

(解释一下如果盒子可以为空的时候，我们假设当前盒子每个里面有一个，最后我们每个盒子减去一个就行了

其实就是s+n 分成n分)

但是这道题中每个盒子里面球的个数其实是有限制的

我们把盒子里面的球数超过规定的fi的情况减去

接下来就是容斥了

壮压一下。。。基本就完了。。。

中间要用到lucas 定理的原因是会爆long long 

lucas 定理如下 lucas(n,m,p) = lucas(n/p,m/p,p)*c(n,m);

费马定理的应用 a/b%p = a*(b^(p-2))%p 

其中的p模数都必须为素数

这道题就解决了

代码如下

/*  ^^ ====== ^^ ID: meixiuxiuPROG: testLANG: C++11*/#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>#include <climits>#include <string>#include <vector>#include <cmath>#include <stack>#include <queue>#include <set>#include <map>#include <sstream>#include <cctype>using namespace std;typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;typedef pair<int ,int> pii;#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof a)#define CLR(a) memset(a,0,sizeof a);#define pi acos(-1.0)#define maxn 40000#define maxv 100005const int inf = 0x3f3f3f3f;const int MOD = 1e9 + 7;//#define LOCALll n,s;ll a[25];ll quick(ll a,ll x){    ll ans = 1;    while(x){        if(x&1)ans *= a,ans %= MOD;        x >>= 1;        a *= a;a %= MOD;    }    return ans;}ll c(ll n,ll m){    if(n==0 || m==0)return 1;    ll a = 1,b = 1;    for(ll i=1;i<=m;i++){        a *= n-i+1; a %= MOD;        b *= i; b %= MOD;    }    return a*quick(b,MOD-2)%MOD;}ll lucas(ll n,ll m){    ll tot = 1;    if(n>MOD || m > MOD){        //lucas        tot *= c(n%MOD,m%MOD)%MOD*lucas(n/MOD,m/MOD)%MOD;    }    else tot *= c(n,m);    return tot;}int main(){#ifdef LOCALfreopen("in.txt", "r", stdin);//freopen("out.txt","w",stdout);#endif    cin >> n >> s;    for(int i=1;i<=n;i++)cin >> a[i];    ll tot = lucas(s-1+n,n-1);//无限制的放  //  cout << tot << endl;    for(int i=1;i<(1<<n);i++){        ll cnt = 0,sum = s;        for(int j=0;j<n;j++){            if((1<<j)&i)cnt++,sum -= a[j+1]+1;        }        if(sum<0)continue;        if(!(cnt&1)){            tot += lucas(sum-1+n,n-1);//盒子可以为空            tot += MOD; tot %= MOD;        }else{            tot -= lucas(sum-1+n,n-1);            tot += MOD; tot %= MOD;        }    }    cout << tot << endl;return 0;}

2.方法二比较数学

先要懂母函数。。这个东西推荐这个博客

http://blog.csdn.net/feeltouch/article/details/44753599

易推这个答案为xs in (1 + x + x2 + x3 +  + ..xf1) *  *  * (1 + x + x2 + x3 +  + ..xfn)中的系数

接下来我们化简由(1 + x + x2 + x3 +  + ..xf1) = (1 - x(f1 + 1)) / (1 - x)得到

(1 - x(f1 + 1)) / (1 - x) *  *  * (1 - x(fn + 1)) / (1 - x)即为(1 - x(f1 + 1)) * .. * (1 - x(fn + 1)) * (1 - x)( - n)

前面这个我们可以暴力出所有的情况

关键是后面这个(1-x)^(-n)

下面来化简：（1/(1-x))^n

=> (x^1+x^2+x^3+x^4+......)^n //运用知识，泰勒级数展开

我们对应前面的每个指数，找后面对应的指数a

这个不就是往n个盒子里面放a个球的方法数吗？盒子同样可以为空

之后就是套路了，，，，，和前面的差不多，，，，，