{算法}乱谈线性筛法

Concept

指在线性时间O(n)用筛选的方法求一些东西的算法。
伪目录
1. 求质数表
2. 筛出欧拉函数φ

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Ideas

As we all know,x=p1a1⋅p2a2⋅...⋅pnan 即x=∏ni=1piai
其中pi为第i个质数,ai为其对应的质数
我们还可以通过乘法定理得知，x的约数共有∏ni=1(ai+1)个
当然，这是后话了

For prime Numbers table

最简单的，我们使用线性筛法筛质数表
先来看看普通的筛法

fillchar(x,sizeof(x),true);//假设所有数都是质数(Tips x[1]=false)for i:=2 to n doif x[i] then  //x[i]表示i是否为质数    for j:=2 to n div i do    x[i*j]:=false;  //筛掉i*j(非质数)

显然复杂度为O(n2)
我们发现，有的数字被筛了多次，如24
当然最好的情况是每个数字只被筛1次

看Code之间，先回忆一句话

使每个数字只被筛1次

也许我们需要换个思路(线性筛法)
那线性筛法又是如何做到使每个数字只被筛1次的呢？
这就是我们所需要证明的

Code

fillchar(bz,sizeof(bz),true);for i:=2 to n do//枚举数ibegin    if(bz[i])then//i为素数    begin        inc(tot);        s[tot]:=i;//素数数组    end;    for j:=1 to tot do    begin         bz[i*s[j]]:=false;//筛去i*s[j]        if(i mod s[j]=0)then break;//什么鬼？怎么就Break了？    end;end;

相信都对if(i mod s[j]=0)then break;一脸懵逼吧~
这也正是线性筛法的神奇所在

好了不说废话
用上x=∏ni=1piai

∵为使令循环break掉的就是p1(最小的素数)
∴不能让x被pl(l>1)筛掉
设x=p1∗a=pl∗b

pl∗b=∏ni=1piai∗b
=(u∗p2∗p3∗...∗pm−1∗pm)∗p1
=a∗p1
显然a<b

∵ a没有比p1要小的质因数
∴一定会枚举到b前用a将x=a∗p1=b∗pl筛掉。
∴每个x只会被p1∗a筛掉

至于某些人问会不会筛掉质数……
我推荐给你一个小学奥数班！

筛出欧拉函数φ

读作φ(fai)
φ(n)为小于n并与n互质的数的个数,是积性函数
即如果gcd(a,b)=1那么φ(a∗b)=φ(a)∗φ(b)
另φ(1)=1

性质

1. 如果x为素数，那么φ(x)=x−1
   小于x的数不都与x互质吗？
2. 如果x为素数，那么φ(xk)=xk−xkx=xk−1(x−1)
   显然只有x的倍数才不互质xk
3. φ(x)=∏kj=1φ(pjaj)
   φ(x)为积性函数

于是乎~

设x=p1
由性质2得
①φ(xk)=xk−1(x−1)
②φ(xk+1)=xk(x−1)
①代入②
φ(xk+1)=φ(xk)⋅x
φ(x∗i)
=φ(xa1+1)∗φ(p2a2)∗....∗φ(pkak)
=x∗φ(xa1)∗φ(p2a2)∗....∗φ(pkak)
=x∗φ(i)
若x|i那么φ(i∗x)=φ(i)∗x
否则φ(i∗x)=φ(i)∗φ(x)=φ(i)∗(x−1)

Code

恕暂不提供Pascal语言

int prime[M/3],phi[M];  bool flag[M];  void get_prime()  {      int i,j,k;      memset(flag,false,sizeof(flag));      k=0;      for(i=2;i<M;i++){          if(!flag[i]){                                          prime[k++]=i;              phi[i]=i-1;          }          for(j=0;j<k&&i*prime[j]<M;j++){              flag[i*prime[j]]=true;                          if(i%prime[j]==0){                  phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];                      break;              }              else                  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);          }      }  }

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Reference

线性筛法求素数的原理与实现 百度文库
约数详细分析By ColdChair
线性筛法相关By jokerwyt
线性筛法求素数By XianHaoMing