RSA加密算法

第一步

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选择两个大质数p和q，越大越好，然后计算它们的乘积

N=p∗q

。
接着计算N的欧拉函数

φ（N）=φ（p）φ（q）=(p−1)(q−1)

（对正整数N，欧拉函数φ（N）是小于或等于N的正整数中与N互质的数的数目）
然后从随机选择一个整数e，要求e满足

0<e<φ（N）

并且与φ（N）互质。
最后，就可以计算出秘钥d了，它满足:

e∗d≡1(mod(φ（N）))

参见：
模逆元
扩展欧几里得算法
其中数e和N是公钥，用于加密信息，对所有使用者公开；数d和N是私钥，用于解密信息，用户自己保存。

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第二步

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信息发送者用对方的公钥e和N对发送的明文M进行加密运算可以获得加密信息C，对应的密文计算方法是：

C=MemodN

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第三步

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当信息的接收者接收到密文C后，采用私钥d和N进行解密获取明文信息M，对应的解密运算方法是：

M=CdmodN

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由于在进行加密和解密的时候，要对明文或者密文进行幂的取模运算，求幂的结果往往很大，可能远远超出计算机处理的范围，所以必须简化计算方式。
对于任意整数b都可以用以下形式表示(n为b的二进制位个数，bi为实际二进制位，为0或者为1)：

∑i=0n−1bi2i=b020+b121+b222+...+bn−12n−1

即ab就可以表示为：

ab=ab020+b121+b222+...+bn−12n−1=ab020×ab121×ab222×⋅⋅⋅×abn−12n−1

因此，可以用各项

abi2i={a2i,1,if bi is 1if bi is 0

的积来计算ab，也就是连续项a2i的积，其中跳过了那些二进制位bi为0的项。此外，我们可以只对前面项的计算结果进行平方来计算a2i，因为a2i=（a2i−1）2。
所以可以从右到左扫描，把相应二进制位为1的项包括在累乘器中，每一步都进行取模就可以得到最后的结果。

c++模拟实现

#include<iostream>#include<cmath>#include<cstring>#include<ctime>#include<cstdlib>using namespace std;#define MAX 50long public_text[MAX];     //明文long private_text[MAX];    //密文int p = 521;int q = 941;         //因为只探究加密原理，所以此处的p和q直接指定为两个较小的素数int N = p * q;int e = 1777;                   //e与（p-1）*（q-1）互质int d = 0;int gcdEx(int a,int b,int & x,int & y)  //扩展欧几里德算法{    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    else    {        int r = gcdEx(b,a % b,x,y);        int temp = x;        x = y;        y = temp - a / b * y;        return r;    }}long mod(long a,int b,int N)  //快速幂取模算法{    long result = 1;    long temp = a;    while(b > 0)    {        if(b & 1 == 1)   //按位与，每次判断最低位是否为1        {            result = (result * temp) % N;        }        temp = (temp * temp) % N;        b >>= 1;        //右移1位    }    return result;}void init(){    cout << "明文为:" << endl;     srand(time(NULL));    for(int i = 0;i < MAX;i++)    {        public_text[i] = rand() % 500 + 200;  //生成200到700之间的随机数        cout << public_text[i] << " ";    }    cout << endl;    int on = (p - 1) * (q - 1);    int y = 0;    gcdEx(e,on,d,y);       if(d < 0)    {        d += on;    }    cout << "PK = (N,e) = (" << N << "," << e << ")" << endl;    cout << "SK = (N,d) = (" << N << "," << d << ")" << endl;}void RSA_Encrypt()     //加密{    cout << endl << "明文用公钥PK(" << N << "," << e << ")加密后的密文为：" << endl;    for(int i = 0;i < MAX;i++)    {        private_text[i] = mod(public_text[i],e,N);   //分别对每部分明文进行加密        cout << private_text[i] << " ";    }    cout << endl;}void RSA_Decrypt()    //解密{    cout << endl << "密文用私钥SK(" << N << "," << d << ")解密后的明文为：" << endl;    for(int i = 0;i < MAX;i++)    {        cout << mod(private_text[i],d,N) << " ";    //输出解密后的明文    }    cout << endl;}int main(int argc,char *argv[]){    init();    RSA_Encrypt();    RSA_Decrypt();    return 0;}