SPOJ 375 Query on a tree[树链剖分入门]

原文地址：树链剖分[若侵权，请私信，必删]

 “在一棵树上进行路径的修改、求极值、求和”乍一看只要线段树就能轻松解决，实际上，仅凭线段树是不能搞定它的。我们需要用到一种貌似高级的复杂算法——树链剖分。

   树链，就是树上的路径。剖分，就是把路径分类为重链和轻链。
   记siz[v]表示以v为根的子树的节点数，dep[v]表示v的深度(根深度为1)，top[v]表示v所在的重链的顶端节点，fa[v]表示v的父亲，son[v]表示与v在同一重链上的v的儿子节点（姑且称为重儿子），w[v]表示v与其父亲节点的连边（姑且称为v的父边）在线段树中的位置。只要把这些东西求出来，就能用logn的时间完成原问题中的操作。

    重儿子：siz[u]为v的子节点中siz值最大的，那么u就是v的重儿子。
    轻儿子：v的其它子节点。
    重边：点v与其重儿子的连边。
    轻边：点v与其轻儿子的连边。
    重链：由重边连成的路径。
    轻链：轻边。

   剖分后的树有如下性质：
    性质1：如果(v,u)为轻边，则siz[u] * 2< siz[v]；
    性质2：从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。
   

    算法实现：
   我们可以用两个dfs来求出fa、dep、siz、son、top、w。
   dfs_1：把fa、dep、siz、son求出来，比较简单，略过。
   dfs_2：⒈对于v，当son[v]存在（即v不是叶子节点）时，显然有top[son[v]] =top[v]。线段树中，v的重边应当在v的父边的后面，记w[son[v]] =totw+1，totw表示最后加入的一条边在线段树中的位置。此时，为了使一条重链各边在线段树中连续分布，应当进行dfs_2(son[v])；
          ⒉对于v的各个轻儿子u，显然有top[u] = u，并且w[u] = totw+1，进行dfs_2过程。
          这就求出了top和w。
   将树中各边的权值在线段树中更新，建链和建线段树的过程就完成了。

   修改操作：例如将u到v的路径上每条边的权值都加上某值x。
   一般人需要先求LCA，然后慢慢修改u、v到公共祖先的边。而高手就不需要了。
    记f1 =top[u]，f2 = top[v]。
    当f1<> f2时：不妨设dep[f1] >=dep[f2]，那么就更新u到f1的父边的权值(logn)，并使u = fa[f1]。
    当f1 =f2时：u与v在同一条重链上，若u与v不是同一点，就更新u到v路径上的边的权值(logn)，否则修改完成；
   重复上述过程，直到修改完成。

   求和、求极值操作：类似修改操作，但是不更新边权，而是对其求和、求极值。

就这样，原问题就解决了。鉴于鄙人语言表达能力有限，咱画图来看看：

如右图所示，较粗的为重边，较细的为轻边。节点编号旁边有个红色点的表明该节点是其所在链的顶端节点。边旁的蓝色数字表示该边在线段树中的位置。图中1-4-9-13-14为一条重链。

   当要修改11到10的路径时。
    第一次迭代：u =11，v = 10，f1 = 2，f2 = 10。此时dep[f1] <dep[f2]，因此修改线段树中的5号点，v = 4, f2 = 1；
   第二次迭代：dep[f1] > dep[f2]，修改线段树中10--11号点。u = 2，f1 =2；
   第三次迭代：dep[f1] > dep[f2]，修改线段树中9号点。u = 1，f1 =1；
    第四次迭代：f1 =f2且u = v，修改结束。

**数据规模大时，递归可能会爆栈，而非递归dfs会很麻烦，所以可将两个dfs改为宽搜+循环。即先宽搜求出fa、dep，然后逆序循环求出siz、son，再顺序循环求出top和w。

 

 

  题目：spoj375、USACO December Contest Gold Divison, "grassplant"。
   **spoj375据说不“缩行”情况下最短的程序是140+行，我的是128行。

   附spoj375程序(C++)：

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <iostream>#include <string.h>using namespace std;const int maxn = 10010;struct Tedge{ int b, next; } e[maxn * 2];int tree[maxn];int zzz, n, z, edge, root, a, b, c;int d[maxn][3];int first[maxn], dep[maxn], w[maxn], fa[maxn], top[maxn], son[maxn], siz[maxn];char ch[10];void insert(int a, int b, int c){     e[++edge].b = b;     e[edge].next = first[a];     first[a] = edge;}void dfs(int v){     siz[v] = 1; son[v] = 0;     for (int i = first[v]; i > 0; i = e[i].next)         if (e[i].b != fa[v])         {             fa[e[i].b] = v;             dep[e[i].b] = dep[v]+1;             dfs(e[i].b);             if (siz[e[i].b] > siz[son[v]]) son[v] = e[i].b;             siz[v] += siz[e[i].b];         }}void build_tree(int v, int tp){     w[v] = ++ z; top[v] = tp;     if (son[v] != 0) build_tree(son[v], top[v]);     for (int i = first[v]; i > 0; i = e[i].next)         if (e[i].b != son[v] && e[i].b != fa[v])             build_tree(e[i].b, e[i].b);}void update(int root, int lo, int hi, int loc, int x){     if (loc > hi || lo > loc) return;     if (lo == hi)     { tree[root] = x; return; }     int mid = (lo + hi) / 2, ls = root * 2, rs = ls + 1;     update(ls, lo, mid, loc, x);     update(rs, mid+1, hi, loc, x);     tree[root] = max(tree[ls], tree[rs]);}int maxi(int root, int lo, int hi, int l, int r){     if (l > hi || r < lo) return 0;     if (l <= lo && hi <= r) return tree[root];     int mid = (lo + hi) / 2, ls = root * 2, rs = ls + 1;     return max(maxi(ls, lo, mid, l, r), maxi(rs, mid+1, hi, l, r));}inline int find(int va, int vb){     int f1 = top[va], f2 = top[vb], tmp = 0;     while (f1 != f2)     {           if (dep[f1] < dep[f2])           { swap(f1, f2); swap(va, vb); }           tmp = max(tmp, maxi(1, 1, z, w[f1], w[va]));           va = fa[f1]; f1 = top[va];     }     if (va == vb) return tmp;     if (dep[va] > dep[vb]) swap(va, vb);     return max(tmp, maxi(1, 1, z, w[son[va]], w[vb]));  //}void init(){     scanf("%d", &n);     root = (n + 1) / 2;     fa[root] = z = dep[root] = edge = 0;     memset(siz, 0, sizeof(siz));     memset(first, 0, sizeof(first));     memset(tree, 0, sizeof(tree));     for (int i = 1; i < n; i++)     {         scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);         d[i][0] = a; d[i][1] = b; d[i][2] = c;         insert(a, b, c);         insert(b, a, c);     }     dfs(root);     build_tree(root, root);    //     for (int i = 1; i < n; i++)     {         if (dep[d[i][0]] > dep[d[i][1]]) swap(d[i][0], d[i][1]);         update(1, 1, z, w[d[i][1]], d[i][2]);     }}inline void read(){     ch[0] = ' ';     while (ch[0] < 'C' || ch[0] > 'Q') scanf("%s", &ch);}void work(){     for (read(); ch[0] != 'D'; read())     {         scanf("%d%d", &a, &b);         if (ch[0] == 'Q') printf("%d\n", find(a, b));                      else update(1, 1, z, w[d[a][1]], b);     }}int main(){    for (scanf("%d", &zzz); zzz > 0; zzz--)    {        init();        work();    }    return 0;}

附上博主的丑代码=-=:

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#define ll long long#define maxn 50008#define maxm 100008using namespace std;inline void read(int &x){    char ch;    bool flag=false;    for (ch=getchar();!isdigit(ch);ch=getchar())if (ch=='-') flag=true;    for (x=0;isdigit(ch);x=x*10+ch-'0',ch=getchar());    x=flag?-x:x;}inline void write(int x){    static const int maxlen=100;    static char s[maxlen];        if (x<0) {   putchar('-'); x=-x;}    if(!x){ putchar('0'); return; }    int len=0; for(;x;x/=10) s[len++]=x % 10+'0';    for(int i=len-1;i>=0;--i) putchar(s[i]);} //pos指该点到父亲的边在边序列的编号，得到边序列后便可用数据结构来处理 //top指该点所在重链的起点//fa 该点的父亲节点， son该点的重儿子 ，size 该点的子树的节点数 int fa[maxn],son[maxn],deep[maxn],top[maxn],size[maxn],pos[maxn]; int kk[maxn][8];//记录边 int ed[maxm],pre[maxm],now[maxn],v[maxm],tot;void build(int a,int b,int c){pre[++tot]=now[a];now[a]=tot;ed[tot]=b;v[tot]=c;}  int sum;//sum指序列总大小；    void dfs(int x){size[x]=1; son[x]=0;    for (int p=now[x];p;p=pre[p])        if (ed[p]!=fa[x])        {            int y=ed[p];            fa[y]=x;    deep[y]=deep[x]+1;            dfs(y);            if (size[y]>size[son[x]]) son[x]=y;            size[x]+=size[y];        }}//第一遍求deep,size,son   void dfs2(int x,int topp){pos[x]=++sum;   top[x]=topp;if (son[x])    dfs2(son[x],topp);for (int p=now[x];p;p=pre[p])    if (ed[p]!=fa[x])        if (ed[p]!=son[x])            dfs2(ed[p],ed[p]);}//第二遍求pos,top  int tree[maxn*7]; void change(int l,int r,int p,int a,int b){if ((l==a)&&(r==a))    {        tree[p]=b;        return;    }int mid=(l+r)/2;if (a<=mid)    change(l,mid,p*2,a,b);else    change(mid+1,r,p*2+1,a,b);tree[p]=max(tree[p*2],tree[p*2+1]);}  int  find(int l,int r,int p,int a,int b){if ((l==a)&&(r==b))        return tree[p];int mid=(l+r)/2;if (b<=mid)    return find(l,mid,p*2,a,b);else    if (a>mid)        return find(mid+1,r,p*2+1,a,b);    else        return max(find(l,mid,p*2,a,mid),find(mid+1,r,p*2+1,mid+1,b));      } int get(int a,int b){int f1=top[a],f2=top[b],ans=0;      while (f1!=f2){            if(deep[f1]<deep[f2])                {                    swap(f1,f2);                    swap(a,b);                }            ans=max(ans,find(1,sum,1,pos[f1],pos[a]));            a=fa[f1];f1=top[a];        }    if(a==b) return ans;    if (deep[a]>deep[b]) swap(a,b);    return max(ans,find(1,sum,1,pos[son[a]],pos[b]));}//每次取深度大的点向上跳，直到两点在同一重链   int n; void init(){read(n);memset(now,0,sizeof(int)*(n+1));memset(tree,0,sizeof(int)*(n+1)*7);int root =1;tot=0; sum=0;deep[root]=0;fa[root]=0;for (int i=1;i<n;i++){        int a,b,c;        read(a); read(b); read(c);        kk[i][0]=a; kk[i][1]=b; kk[i][2]=c;         build(a,b,c);        build(b,a,c);    }dfs(root);dfs2(root,root);for (int i=1;i<n;i++){    if (deep[kk[i][0]]>deep[kk[i][1]])        swap(kk[i][0],kk[i][1]);//保证每条边均由父亲节点指向子节点     change(1,sum,1,pos[kk[i][1]],kk[i][2]);    }}  char ch[200]; void rreadd(){ch[0]=' '; while (ch[0] < 'C' || ch[0] > 'Q') scanf("%s", &ch);} void doit(){    for (rreadd();ch[0]!='D';rreadd())        {            int a,b;            read(a); read(b);            if (ch[0]=='Q')                { write(get(a,b)); puts("");}            else                change(1,sum,1,pos[kk[a][1]],b);         }}   int main(){int ca;read(ca);for (int i=1;i<=ca;i++)    {        init();        doit();    }return 0;}