UVa 11384 Help is needed for Dexter (构造解并证明)

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来源：《算法竞赛入门经典训练指南》第1章例题10、UVa-11384
题目描述：
对于序列{1...n}，求最小的操作数使得每个数都变成零。这里的合法操作指的是从原序列中指定任意多个数，减去同一个正整数。
题目分析：

如果只要AC，什么都不用说直接蒙⌊log2n⌋+1就对了，能找到的Solution除了小白菜又菜（版刷UVa的著名博主）尝试给出了证明，此外就都是小学生找规律就做出来了。目标是AC，这一点问题也没有，够快、够准。

这里给出严谨的证明。 对于数值上相同的数，视作同一个，或者说只记一次。首先对于m>n，必然有f(m)≥f(n)。这是因为可以将A={1..n}视为B={1..m}的子集，任意零化B的操作序列必然同时零化A，只需对相同的数进行相同的操作，A中不存在的数的操作不做即可。

- - - - 更新：嘛我发现好像可以证得更简略一点，对于下面提到的g，既然已经证出了对于题目序列有f(a)=g(a)+1=m+1，那就证完了嘛。- - -

于是有f(2k)≥f(k)，接下来我们证明f(2k)≠f(k)。设k∈[2m,2m+1)，则2k∈[2m+1,2m+2)。考虑对2a个两两不等的正数进行一次合法操作，若选择了至少a+1个，由于减数相同，操作后有不少于a个各不相同的正数；若选了不超过a个，则没有选上的数至少a个，同样有操作后至少a个正数数各不相同（这个结论对于2a+1时也成立，证明类似）。进一步的，定义g(a)为最小的操作数，使得a个不同的正数转换成1个不同的正数，则按照上边的讨论有，对于a=2m+l(0≤l<2m)，g(a)=m，实际上对于一般的a个不同的数，这里只能得到≥，但按照那个猜出来的办法，我们确实地构造出了一个方案使得对于题目所给的特定序列，等号可以取到。考虑符合题意的零化操作序列，其最后一步必然是对某一个（实际上可能是一组相同的）数同时减去这个数本身得到0，因而有f(k)=g(k)+1，f(2k)=g(2k)+1，根据上面对k范围的界定，结合g的表达式就有f(k)≠f(2k)，于是f(2k)>f(k)，由于f(2k)是正整数，而我们又构造出了使得f(2k)=f(k)+1的方案，这样就证明了构造的解确实是最优的。

猛然发现好像构造方法没说，这个其他题解随便搜一下吧。简单地说，从中间二分，再注意红色字体说的，也很好猜。

//  Created by wander on 16/06/21.//  Copyright © 2016年 W4anD0eR96. All rights reserved.//  From: UVa-11384//  Sort: 贪心算法-构造#include "bits/stdc++.h"using namespace std;int n;int main() {#ifdef DEBUG  freopen("in", "r", stdin);  freopen("out", "w", stdout);#endif  while (~scanf("%d", &n))    printf("%d\n", (int)log2(n) + 1);  return 0;}