HDU5320 Fan Li

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题目大意

给定n个正整数ai,求最多能取出几个不相交的区间,使得各区间的gcd相等,以及满足取出区间个数最多的方案数.

1≤n≤105,ai<2,333,333.

题解

注意到元素范围是一个lucky number,设其为S=2,333,333.
如果一个区间右端点固定,那么在左端点往左移的时候区间的gcd要么不变要么除以一个数,所以不同的gcd取值最多也只有O(lgS)种.
而区间gcd可以用ST表来求.
于是可以枚举右端点,二分左端点预处理出(R,l,r,val),表示右端点为R,左端点L∈[l,r]时区间的gcd为val,这种四元组最多有O(nlgS)个.

然后枚举gcd就可以dp了.
假设正在计算gcd=val的情况,设dp[i]表示所选的最右边的区间的右端点为i时最多的选择的区间个数,sum[i]为满足区间个数最多的方案数.
将val值相同的四元组按R值从小到大排序,那么处理到一个四元组(R,l,r,val)时就有这样的转移:

dp[R]=maxi<r{dp[i]}+1.

这个可以用树状数组维护前缀最大值来搞.
然而比较麻烦的是方案数的统计.
对于那些dp[i]+1=dp[R]的i,要分两种情况讨论:

1. i<l,对sum[R]的贡献是:sum[i]⋅(r−l+1).
2. l≤i<r,对sum[R]的贡献是:sum[i]⋅(r−i).

这里又出现了两个维度,一个是下标一个是dp值….要是得再来个二维数据结构我可受不了…..
注意到随着R的增大,r是单调不减的.
所以对于有值的dp[i],随着i的增大dp值也是单调不减的.
于是我们可以二分找到满足dp[i]+1=dp[R]的i所在的区间,然后就可以依旧用树状数组维护前缀的sum[i]的和以及sum[i]⋅i的和搞定了.

其实还有很多可以优化的地方,像我这样做复杂度已经爆炸了.
所以我也懒得算总的复杂度了.

代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define lowbit(x) (x&-x)using namespace std;const int N=1e5+5,LG_N=18,S=2333335,LG_S=23,mod=998244353;int n,dp[N],lg[N],ST[N][LG_N],bit_mx[N],bit_sum[2][N];struct UNIT{    int R,l,r,val;    inline bool operator <(const UNIT &tmp)const{        if(val!=tmp.val)return val<tmp.val;        return R<tmp.R;    }}arr[N*LG_S];void init(){    memset(dp,0,sizeof dp);    memset(bit_mx,0,sizeof bit_mx);    memset(bit_sum,0,sizeof bit_sum);    for(int i=2,j=1;i<N;++i){        lg[i]=j;        if(!(i&(i-1)))++j;    }}void rd(int &res){    res=0;    char c;    while(c=getchar(),c<48);    do res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48);        while(c=getchar(),c>47);}int gcd(int a,int b){    return b?gcd(b,a%b):a;}int query_gcd(int L,int R){    int k=lg[R-L+2]-1;    return gcd(ST[L][k],ST[R-(1<<k)+1][k]);}inline void Max(int &a,int b){    if(b>a)a=b;}inline void Min(int &a,int b){    if(b<a)a=b;}int query_mx(int x){    int res=0;    while(x){        Max(res,bit_mx[x]);        x&=x-1;    }    return res;}void update_mx(int x,int val){    while(x<=n){        Max(bit_mx[x],val);        x+=lowbit(x);    }}inline void mod_add(int &a,int b){    if((a+=b)>=mod)a-=mod;}int query_sum(bool type,int x){    int res=0;    while(x){        mod_add(res,bit_sum[type][x]);        x&=x-1;    }    return res;}int query_itv_sum(bool type,int L,int R){    int res=query_sum(type,R)-query_sum(type,L-1);    if(res<0)res+=mod;    return res;}void update_sum(bool type,int x,int val){    while(x<=n){        mod_add(bit_sum[type][x],val);        x+=lowbit(x);    }}void solve(){    for(int i=1;i<=n;++i)        rd(ST[i][0]);    for(int j=1;1<<j<=n;++j)        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)            ST[i][j]=gcd(ST[i][j-1],ST[i+(1<<j-1)][j-1]);    int tot=0;    for(int R=1;R<=n;++R){        int r=R;        while(r){            int val=query_gcd(r,R),                bin_L=1,bin_R=r,l;            while(bin_L<=bin_R){                int mid=bin_L+bin_R>>1;                if(query_gcd(mid,R)==val){                    l=mid;                    bin_R=mid-1;                }                else bin_L=mid+1;            }            arr[tot++]=(UNIT){R,l,r,val};            r=l-1;        }    }    sort(arr,arr+tot);    int ans=0,ans_sum;    for(int i=0,j;i<tot;){        for(j=i;j==i||j<tot&&arr[j].val==arr[j-1].val;++j){            int R=arr[j].R,l=arr[j].l,r=arr[j].r,sum=0,                pre_L,pre_R,bin_L,bin_R;            dp[R]=query_mx(r-1)+1;            if(dp[R]>1){                bin_L=i;                bin_R=j-1;                while(bin_L<=bin_R){                    int mid=bin_L+bin_R>>1;                    if(dp[arr[mid].R]+1==dp[R]){                        pre_L=mid;                        bin_R=mid-1;                    }                    else if(dp[arr[mid].R]+1>dp[R])bin_R=mid-1;                    else bin_L=mid+1;                }                bin_L=pre_L;                bin_R=j-1;                while(bin_L<=bin_R){                    int mid=bin_L+bin_R>>1;                    if(dp[arr[mid].R]+1==dp[R]){                        pre_R=mid;                        bin_L=mid+1;                    }                    else bin_R=mid-1;                }                pre_L=arr[pre_L].R;                pre_R=arr[pre_R].R;                if(pre_L<l){                    sum=1ll*query_itv_sum(0,pre_L,min(l-1,pre_R))*(r-l+1)%mod;                }                Max(pre_L,l);                Min(pre_R,r-1);                if(pre_L<=pre_R){                    sum=(sum+1ll*query_itv_sum(0,pre_L,pre_R)*r-query_itv_sum(1,pre_L,pre_R))%mod;                    if(sum<0)sum+=mod;                }            }            else sum=r-l+1;            if(dp[R]>ans){                ans=dp[R];                ans_sum=sum;            }            else if(dp[R]==ans){                mod_add(ans_sum,sum);            }            update_mx(R,dp[R]);            update_sum(0,R,sum);            update_sum(1,R,1ll*sum*R%mod);        }        for(;i<j;++i){            int x=arr[i].R;            dp[x]=0;            while(x<=n){                bit_mx[x]=bit_sum[0][x]=bit_sum[1][x]=0;                x+=lowbit(x);            }        }    }    printf("%d %d\n",ans,ans_sum);}int main(){    init();    while(~scanf("%d",&n))solve();    return 0;}/*    Jun.22.16    Tags:dp,bit    Submissions:2    Memory(KB) 44856    Time(ms) 2152    Length(Bytes) 3381*/