Educational Codeforces Round 13 (ABCD ....ing)

678A - Johny Likes Numbers

#include <bits/stdc++.h>#define met(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define inf (1<<28)#define mod 1000000007#define MAXN 1000 + 10#define MAXM 100000using namespace std;typedef long long LL;typedef long double LD;const double PI = acos(-1.0);const double eps = 1e-6;int n,m;int main(){ int i,j;    cin>>n>>m;    i = 1;    while(m*i <= n)      i++;        cout<<m*i<<endl;return 0;}

678B - The Same Calendar

#include <bits/stdc++.h>#define met(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define inf (1<<28)#define mod 1000000007#define MAXN 1000 + 10#define MAXM 100000using namespace std;typedef long long LL;typedef long double LD;const double PI = acos(-1.0);const double eps = 1e-6;int cmp(int y){if(y%400 == 0 || (y%4==0 && y%100 !=0))  return 1;else  return 0;}int n;int main(){ int i,j;    cin>>n;    LL sum = 0 ;    for(i=n; ;i++)    {    sum += 365 + cmp(i);      if((1 + sum ) % 7 == 1  && cmp(n) == cmp(i+1))       { cout<<i+1<<endl;break;}}return 0;}

678C - Joty and Chocolate

#include <bits/stdc++.h>#define met(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define inf (1<<28)#define mod 1000000007#define MAXN 1000 + 10#define MAXM 100000using namespace std;typedef long long LL;typedef long double LD;const double PI = acos(-1.0);const double eps = 1e-6;LL gcd(LL a,LL b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}LL n,a,b,p,q;int main(){ int i,j;    cin>>n>>a>>b>>p>>q;       LL lcd = a*(b/gcd(a,b));        i = n / lcd;cout<<max((n/a-i)*p+(n/b)*q,(n/a)*p+(n/b-i)*q)<<endl;return 0;}

678D - Iterated Linear Function

#include <bits/stdc++.h>#define met(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define inf (1<<28)#define MAXN 1000000000 + 10#define MAXM 100000using namespace std;typedef long long LL;typedef long double LD;const double PI = acos(-1.0);const double eps = 1e-6;const LL mod  = 1000000000 + 7;LL a,b,n,x;LL ksm(LL aa,LL bb,LL mod){LL x = 1;while(bb){if(bb&1) x = (x*aa)%mod;aa = (aa*aa) % mod;bb = bb>>1;}return x;}int main(){ LL i,j;    cin>>a>>b>>n>>x;        if(a == 1)    {   cout<<(x+n%mod*b)%mod<<endl;return 0;}        LL ans = ksm(a,n,mod);    LL sum = ans*x%mod + (ans-1)*ksm(a-1,mod-2,mod)%mod*b%mod;    cout<<sum%mod<<endl;return 0;}

327C - Magic Five

快速幂

定义：
满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。


为什么要有乘法逆元呢？
当我们要求（a/b） mod p的值，且a很大，无法直接求得a/b的值时，我们就要用到乘法逆元。
我们可以通过求b关于p的乘法逆元k，将a乘上k再模p，即(a*k) mod p。其结果与(a/b) mod p等价。


证：（其实很简单。。。）
根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1。
k=(p*x+1)/b。
把k代入(a*k) mod p，得：
(a*(p*x+1)/b) mod p
=((a*p*x)/b+a/b) mod p
=[((a*p*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
=[(p*(a*x)/b) mod p +(a/b)] mod p
//p*[(a*x)/b] mod p=0
所以原式等于：(a/b) mod p




这题的关键还是如何求等比数列之和，之前使用的二分求和...这里用数论的知识直接解决...
    对于(a/b)%c这类运算不能等价于(a%c / b%c)...但是可以等价为(a*b')%c...其中b'为b的逆元..
    而(a*b')%c这类运算可以拆解为(a%c * b%c)..
    那么关键就是求c的逆元了.. 值得留意的是10000007是一个质数...
    根据费马小定理对于任意的质数p有任意的正整数a满足a^(p-1)%p==1
    如果A是a的逆元..那么A*a % p==1...而又a*a^(p-2)%p==a^(p-1)%p==1   所以a的逆元A=a^(p-2)%p
    剩下的就简单了..

#include <bits/stdc++.h>#define met(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define inf (1<<28)#define MAXN 1000000000 + 10#define MAXM 100000using namespace std;typedef long long LL;typedef long double LD;const double PI = acos(-1.0);const double eps = 1e-6;const LL mod  = 1000000000 + 7;LL a,b,n,x;LL ksm(LL aa,LL bb,LL mod){LL x = 1;while(bb){if(bb&1) x = (x*aa)%mod;aa = (aa*aa) % mod;bb = bb>>1;}return x;}int main(){ int i,j,k;        string ss;    cin>>ss>>k;        LL len = ss.length();    LL ans = 0,x = 1 ;    for(i=0;i<len;i++){if(ss[i] == '0' || ss[i] == '5')  ans = (ans + x) % mod;x = (x*2) % mod;}LL a1 = ans;LL res = (ksm(ksm(2,len,mod),k,mod) - 1) % mod;res = (res * ans) % mod * ksm(ksm(2,len,mod)-1,mod-2,mod) % mod;cout<<res%mod<<endl;return 0;}