Another kind of Fibonacci
来源:互联网 发布:量化数据平台 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 18:41
题目描述
As we all known , the Fibonacci series : F(0) = 1, F(1) = 1, F(N) = F(N - 1) + F(N - 2) (N >= 2).Now we define another kind of Fibonacci : A(0) = 1 , A(1) =1,A(N) = X * A(N - 1) + Y * A(N - 2) (N >= 2).And we want to Calculate S(N) , S(N) = A(0)2 +A(1)2+……+A(n)2.
.
输入
第一行输入一个T,表示有T组测试数据(T<=10000),
There are several test cases.Each test case will contain three integers , N, X , Y .N : 2<= N <= 231 – 1X : 2<= X <= 231– 1Y : 2<= Y <= 231 – 1
输出
For each test case , output the answer of S(n).If the answer is too big , divide it by 10007 and give me the reminder.
样例输入
2
2 1 1
3 2 3
样例输出
6
196
#include <iostream>using namespace std;#define MOD 10007#define LL long longtypedef struct{ int data[4][4];}M;M m = {1,0,0,0, 0,1,0,0, 0,0,1,0, 0,0,0,1};M mul(M a, M b) { M res = m; int temp = 0; for (int i = 0; i < 4; ++i) { for (int j = 0; j < 4; ++j) { temp = 0; for (int k = 0; k < 4; ++k) { temp = (temp + (a.data[i][k]*b.data[k][j]) % MOD); res.data[i][j] = temp; } } } return res;}int quickpow(M a, int n) { M res = m; while(n) { if(n&1) res = mul(res, a); a = mul(a,a); n>>=1; } int ans = 0; for (int i = 0; i < 4; ++i) { ans = (ans + res.data[0][i]) % MOD; } return ans;}int main(){ int N; scanf("%d",&N); while (N--) { int n, x, y; scanf("%d %d %d",&n, &x, &y); x=x % MOD; y=y % MOD; M a{1, (x*x)%MOD, (y*y)%MOD, (2*x*y)%MOD, 0, (x*x)%MOD, (y*y)%MOD, (2*x*y)%MOD, 0, 1, 0, 0, 0, x, 0, y}; printf("%d\n",quickpow(a, n-1)); } return 0;}
遇到这种递推的式子,想都不要想了,绝对是用矩阵快速幂来解决的!感觉做题都是套模板了! 说简单点就是要求S(n)=∑f(n)2,其中f(n)=x*f(n-1)+y*f(n-2),且f(0)=1,f(1)=1。
首先,我们看到有f(n)=x*f(n-1)+y*f(n-2)这个式子,我想大家的第一反应一定是觉得很像斐波那契数列数列。没错,所以,再解这道题目之前,我们先来讲讲斐波那契数列的解法。
一、斐波那契数列的解法
斐波那契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……
在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,Fn=F(n-1)+F(n-2)(n>=2,n∈N*)
二逼青年做法:显然可以逐项计算F(n),可以在O(n)的时间内得出答案,不过这种算法的效率太低了,一旦n是一个比较大的数必定超时无疑。
文艺青年做法:接着,数学系的同学可能第一反应就是求通项公式以期在O(1)的时间就可以得出答案。不错,斐波那契数列的通项公式是可以求的,前人已经求出来了:
但是在这个式子中有无理数出现,在计算机中使用浮点数是无法精确存储的,更加无法获得模某个数以后的结果,况且像斐波那契数列正好可以求到通项公式,别的就比如本题只能望洋兴叹了。
高端大气上档次狂拽酷炫吊炸天的计算机系有为青年做法(pia~拍飞):好了,言归正传,我们来看看真正在ACM程序设计竞赛中的做法。
矩阵是一个好东西,有时候我们可以利用矩阵来简化计算。我们可以把斐波那契数列的递推式变成矩阵形式,即构造一个矩阵:
记这个矩阵为A,则有:
所以,我们只要求出An就可以得到Fn了,如何快速求解An,那就要用到矩阵快速幂了,可以在O(logn)时间内求解,再次不细讲,大家可以看最终的代码实现。
二、类似斐波那契数列的求法
回到本题中,观察到有f(n)=x*f(n-1)+y*f(n-2)这样一个式子,我们想利用矩阵快速幂简化运算。不过在本题中我们遇到这样一个问题,尽管有了斐波那契数列的基础f(n)是很好求,但是要求∑f(n)就不行了,因为矩阵快速幂运算是“跳”着来的,跟别谈求∑f(n)2了。这时候,我们就要拓展一下思路了。
进一步推导递推式:S(n) = ∑f(n)2 = S(n-1)+f(n)2 = S(n-1)+x2f(n-1)2+y2f(n-2)2+2xyf(n-1)f(n-2)
其他都好办,就是有一项2xyf(n-1)f(n-2)比较讨厌,那么我们就继续进一步,再写一项:f(n)*f(n-1) = (x*f(n-1)+y*f(n-2))*f(n-1) = x*f(n-1)2+y*f(n-1)*f(n-2),这样就方便构造矩阵递推了。
我们构造矩阵递推式:
这样我们就能用上矩阵快速幂了,最后只要将An-1的第一行加起来就行了
原文链接在这里~
http://www.cnblogs.com/zhangshu/archive/2011/07/20/2111276.html
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